微积分学示例

$\frac{t}{7 + t^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = 7 + t^{2}$ 。

$\frac{(7 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(7 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $7 + t^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $7 + t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{7 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $7$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{7 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ 相加。

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{7 + t^{2} - t (2 t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 7

从 $t^{2}$ 中减去 $2 t^{2}$ 。

$\frac{7 - t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{- t^{2} + 7}{{(t^{2} + 7)}^{2}}$

微积分学 示例

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