微积分学示例

$e^{t} (e^{2 t} - e^{- 2 t})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = e^{2 t} - e^{- 2 t}$ 。

$e^{t} \frac{d}{d t} [e^{2 t} - e^{- 2 t}] + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $e^{2 t} - e^{- 2 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]$ 。

$e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 t$ 。

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 3.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$e^{t} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{t} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{t} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 t}$ 的左侧。

$e^{t} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- e^{- 2 t}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]$ 。

$e^{t} (2 e^{2 t} - \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 2 t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 2 t$ 。

$e^{t} (2 e^{2 t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 5.3

使用 $- 2 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 6

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$e^{t} (2 e^{2 t} - e^{- 2 t} (- 2 \frac{d}{d t} [t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 6.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \cdot 1) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

运用分配律。

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{2 t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1.1

移动 $e^{2 t}$ 。

$e^{2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{2 t + t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $2 t$ 和 $t$ 相加。

$e^{3 t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.2

将 $2$ 移到 $e^{3 t}$ 的左侧。

$2 \cdot e^{3 t} + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.3

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{- 2 t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.3.1

移动 $e^{- 2 t}$ 。

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t + t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.3.3

将 $- 2 t$ 和 $t$ 相加。

$2 e^{3 t} + e^{- t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.4

将 $2$ 移到 $e^{- t}$ 的左侧。

$2 e^{3 t} + 2 \cdot e^{- t} + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.5

通过指数相加将 $e^{2 t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{2 t + t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.5.2

将 $2 t$ 和 $t$ 相加。

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- 2 t} e^{t}$

解题步骤 8.3.6

通过指数相加将 $e^{- 2 t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.6.1

移动 $e^{t}$ 。

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - (e^{t} e^{- 2 t})$

解题步骤 8.3.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{t - 2 t}$

解题步骤 8.3.6.3

从 $t$ 中减去 $2 t$ 。

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- t}$

解题步骤 8.3.7

将 $2 e^{3 t}$ 和 $e^{3 t}$ 相加。

$3 e^{3 t} + 2 e^{- t} - e^{- t}$

解题步骤 8.3.8

从 $2 e^{- t}$ 中减去 $e^{- t}$ 。

$3 e^{3 t} + e^{- t}$

微积分学 示例

微积分学示例