微积分学示例

$\frac{t^{2}}{2 t^{3} + 27}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = 2 t^{3} + 27$ 。

$\frac{(2 t^{3} + 27) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(2 t^{3} + 27) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $2 t^{3} + 27$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (2 t^{3} + 27) t - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $2 t^{3} + 27$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [27]$ 。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2} + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $27$ 对于 $t$ 是常数，所以 $27$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2} + 0)}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

将 $6 t^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2})}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{2} t^{2}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 (t^{2} t^{2})}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{2 + 2}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(2 (2 t^{3}) + 2 \cdot 27) t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 t^{3}) t + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1.1

移动 $t$ 。

$\frac{2 (2 (t \cdot t^{3})) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.1.2

将 $t$ 乘以 $t^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (2 (t^{1} t^{3})) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (2 t^{1 + 3}) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 (2 t^{4}) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 t^{4} + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{4 t^{4} + 54 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

从 $4 t^{4}$ 中减去 $6 t^{4}$ 。

$\frac{- 2 t^{4} + 54 t}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例