微积分学示例

${(20 \cos (100 t))}^{2}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

从 $20 \cos (100 t)$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{d}{d t} [{(20 (\cos (100 t)))}^{2}]$

解题步骤 1.2

化简表达式。

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解题步骤 1.2.1

对 $20 (\cos (100 t))$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d t} [20^{2} \cos^{2} (100 t)]$

解题步骤 1.2.2

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d t} [400 \cos^{2} (100 t)]$

解题步骤 1.3

因为 $400$ 对于 $t$ 是常数，所以 $400 \cos^{2} (100 t)$ 对 $t$ 的导数是 $400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$ 。

$400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \cos (100 t)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (100 t)$ 。

$400 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$400 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (100 t)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$400 (2 \cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $400$ 。

$800 (\cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 100 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $100 t$ 。

$800 \cos (100 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [100 t])$

解题步骤 4.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$800 \cos (100 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [100 t])$

解题步骤 4.3

使用 $100 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$800 \cos (100 t) (- \sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $800$ 。

$- 800 \cos (100 t) (\sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

解题步骤 5.2

因为 $100$ 对于 $t$ 是常数，所以 $100 t$ 对 $t$ 的导数是 $100 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 800 \cos (100 t) \sin (100 t) (100 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.3

将 $100$ 乘以 $- 800$ 。

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \cdot 1$

解题步骤 5.5

将 $- 80000$ 乘以 $1$ 。

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t)$

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