微积分学示例

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

解题步骤 2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{2}{4}$ 和 $t$ 。

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

解题步骤 2.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

解题步骤 2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \ln (t + 1)$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ 。

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = t + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t + 1$ 。

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 3.2.3

使用 $t + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

解题步骤 3.7

将 $\frac{1}{t + 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

解题步骤 4

合并项。

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解题步骤 4.1

要将 $\frac{t}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t + 1}{t + 1}$ 。

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

解题步骤 4.2

要将 $- \frac{1}{t + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 (t + 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{t}{2}$ 乘以 $\frac{t + 1}{t + 1}$ 。

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{t + 1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

解题步骤 4.3.3

重新排序 $(t + 1) \cdot 2$ 的因式。

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$

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