微积分学示例

$\frac{1}{2} \cdot {(6 t^{2} + t)}^{- 3}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} \cdot {(6 t^{2} + t)}^{- 3}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(6 t^{2} + t)}^{- 3}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [{(6 t^{2} + t)}^{- 3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 3}$ 且 $g (t) = 6 t^{2} + t$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 t^{2} + t$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$\frac{1}{2} (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

解题步骤 2.3

使用 $6 t^{2} + t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (- 3 {(6 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 3}{2} ({(6 t^{2} + t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t])$

解题步骤 3.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.1

组合 ${(6 t^{2} + t)}^{- 4}$ 和 $\frac{- 3}{2}$ 。

$\frac{{(6 t^{2} + t)}^{- 4} \cdot - 3}{2} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

解题步骤 3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- 3$ 移到 ${(6 t^{2} + t)}^{- 4}$ 的左侧。

$\frac{- 3 \cdot {(6 t^{2} + t)}^{- 4}}{2} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

解题步骤 3.2.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(6 t^{2} + t)}^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{- 3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

解题步骤 3.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} \frac{d}{d t} [6 t^{2} + t]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $6 t^{2} + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (6 (2 t) + \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (12 t + \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (12 t + 1)$

解题步骤 3.8

重新排序 $- \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}} (12 t + 1)$ 的因式。

$- (12 t + 1) \frac{3}{2 {(6 t^{2} + t)}^{4}}$

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