微积分学示例

$(t^{2} + 7 t + 6) (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2} + 7 t + 6$ 且 $g (t) = 2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) \frac{d}{d t} [2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}] + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) \frac{d}{d t} [t^{2} + 7 t + 6]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{- 2}] + \frac{d}{d t} [6 t^{- 3}]$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (\frac{d}{d t} [2 t^{- 2}] + \frac{d}{d t} [6 t^{- 3}]) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) \frac{d}{d t} [t^{2} + 7 t + 6]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{- 2}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{- 2}]$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (2 \frac{d}{d t} [t^{- 2}] + \frac{d}{d t} [6 t^{- 3}]) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) \frac{d}{d t} [t^{2} + 7 t + 6]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (2 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [6 t^{- 3}]) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) \frac{d}{d t} [t^{2} + 7 t + 6]$

解题步骤 2.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [6 t^{- 3}]) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) \frac{d}{d t} [t^{2} + 7 t + 6]$

解题步骤 2.5

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t^{- 3}$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} + 6 \frac{d}{d t} [t^{- 3}]) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) \frac{d}{d t} [t^{2} + 7 t + 6]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} + 6 (- 3 t^{- 4})) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) \frac{d}{d t} [t^{2} + 7 t + 6]$

解题步骤 2.7

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} - 18 t^{- 4}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) \frac{d}{d t} [t^{2} + 7 t + 6]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $t^{2} + 7 t + 6$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [6]$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} - 18 t^{- 4}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} - 18 t^{- 4}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) (2 t + \frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 2.10

因为 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $7 t$ 对 $t$ 的导数是 $7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} - 18 t^{- 4}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) (2 t + 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} - 18 t^{- 4}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) (2 t + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 2.12

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} - 18 t^{- 4}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) (2 t + 7 + \frac{d}{d t} [6])$

解题步骤 2.13

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} - 18 t^{- 4}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) (2 t + 7 + 0)$

解题步骤 2.14

将 $2 t + 7$ 和 $0$ 相加。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 t^{- 3} - 18 t^{- 4}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) (2 t + 7)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 \frac{1}{t^{3}} - 18 t^{- 4}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 \frac{1}{t^{3}} - 18 \frac{1}{t^{4}}) + (2 t^{- 2} + 6 t^{- 3}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 \frac{1}{t^{3}} - 18 \frac{1}{t^{4}}) + (2 \frac{1}{t^{2}} + 6 t^{- 3}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- 4 \frac{1}{t^{3}} - 18 \frac{1}{t^{4}}) + (2 \frac{1}{t^{2}} + 6 \frac{1}{t^{3}}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.5

合并项。

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解题步骤 3.5.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{t^{3}}$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (\frac{- 4}{t^{3}} - 18 \frac{1}{t^{4}}) + (2 \frac{1}{t^{2}} + 6 \frac{1}{t^{3}}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.5.2

将负号移到分数的前面。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- \frac{4}{t^{3}} - 18 \frac{1}{t^{4}}) + (2 \frac{1}{t^{2}} + 6 \frac{1}{t^{3}}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.5.3

组合 $- 18$ 和 $\frac{1}{t^{4}}$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- \frac{4}{t^{3}} + \frac{- 18}{t^{4}}) + (2 \frac{1}{t^{2}} + 6 \frac{1}{t^{3}}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.5.4

将负号移到分数的前面。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- \frac{4}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}}) + (2 \frac{1}{t^{2}} + 6 \frac{1}{t^{3}}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.5.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{t^{2}}$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- \frac{4}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}}) + (\frac{2}{t^{2}} + 6 \frac{1}{t^{3}}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.5.6

组合 $6$ 和 $\frac{1}{t^{3}}$ 。

$(t^{2} + 7 t + 6) (- \frac{4}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}}) + (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}}) (2 t + 7)$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$(- \frac{4}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}}) (t^{2} + 7 t + 6) + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7

化简每一项。

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解题步骤 3.7.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- \frac{4}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}}) (t^{2} + 7 t + 6)$ 。

$- \frac{4}{t^{3}} t^{2} - \frac{4}{t^{3}} (7 t) - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2

化简每一项。

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解题步骤 3.7.2.1

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.1.1

将 $- \frac{4}{t^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4}{t^{3}} t^{2} - \frac{4}{t^{3}} (7 t) - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.1.2

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{- 4}{t^{2} t} t^{2} - \frac{4}{t^{3}} (7 t) - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.1.3

约去公因数。

解题步骤 3.7.2.1.4

重写表达式。

$\frac{- 4}{t} - \frac{4}{t^{3}} (7 t) - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} - \frac{4}{t^{3}} (7 t) - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.3

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.3.1

将 $- \frac{4}{t^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{4}{t} + \frac{- 4}{t^{3}} (7 t) - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.3.2

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t$ 。

$- \frac{4}{t} + \frac{- 4}{t \cdot t^{2}} (7 t) - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.3.3

从 $7 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$- \frac{4}{t} + \frac{- 4}{t \cdot t^{2}} (t \cdot 7) - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.3.4

约去公因数。

解题步骤 3.7.2.3.5

重写表达式。

$- \frac{4}{t} + \frac{- 4}{t^{2}} \cdot 7 - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.4

组合 $\frac{- 4}{t^{2}}$ 和 $7$ 。

$- \frac{4}{t} + \frac{- 4 \cdot 7}{t^{2}} - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.5

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{4}{t} + \frac{- 28}{t^{2}} - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{4}{t^{3}} \cdot 6 - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.7

乘以 $- \frac{4}{t^{3}} \cdot 6$ 。

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解题步骤 3.7.2.7.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - 6 \frac{4}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.7.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{4}{t^{3}}$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} + \frac{- 6 \cdot 4}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.7.3

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} + \frac{- 24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.9

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.9.1

将 $- \frac{18}{t^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} + \frac{- 18}{t^{4}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.9.2

从 $t^{4}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} + \frac{- 18}{t^{2} t^{2}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.9.3

约去公因数。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} + \frac{- 18}{t^{2} t^{2}} t^{2} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.9.4

重写表达式。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} + \frac{- 18}{t^{2}} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} - \frac{18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.11

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.11.1

将 $- \frac{18}{t^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} + \frac{- 18}{t^{4}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.11.2

从 $t^{4}$ 中分解出因数 $t$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} + \frac{- 18}{t \cdot t^{3}} (7 t) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.11.3

从 $7 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} + \frac{- 18}{t \cdot t^{3}} (t \cdot 7) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.11.4

约去公因数。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} + \frac{- 18}{t \cdot t^{3}} (t \cdot 7) - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.11.5

重写表达式。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} + \frac{- 18}{t^{3}} \cdot 7 - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.12

组合 $\frac{- 18}{t^{3}}$ 和 $7$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} + \frac{- 18 \cdot 7}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.13

将 $- 18$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} + \frac{- 126}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} - \frac{126}{t^{3}} - \frac{18}{t^{4}} \cdot 6 + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.15

乘以 $- \frac{18}{t^{4}} \cdot 6$ 。

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解题步骤 3.7.2.15.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} - \frac{126}{t^{3}} - 6 \frac{18}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.15.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{18}{t^{4}}$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} - \frac{126}{t^{3}} + \frac{- 6 \cdot 18}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.15.3

将 $- 6$ 乘以 $18$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} - \frac{126}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.2.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} - \frac{28}{t^{2}} - \frac{24}{t^{3}} - \frac{18}{t^{2}} - \frac{126}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4}{t} + \frac{- 28 - 18}{t^{2}} + \frac{- 24 - 126}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.4

从 $- 28$ 中减去 $18$ 。

$\frac{- 4}{t} + \frac{- 46}{t^{2}} + \frac{- 24 - 126}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.5

从 $- 24$ 中减去 $126$ 。

$\frac{- 4}{t} + \frac{- 46}{t^{2}} + \frac{- 150}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.6

化简每一项。

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解题步骤 3.7.6.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} + \frac{- 46}{t^{2}} + \frac{- 150}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} + \frac{- 150}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.6.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.6.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + (2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.7

使用 FOIL 方法展开 $(2 t + 7) (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$ 。

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解题步骤 3.7.7.1

运用分配律。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + 2 t (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}}) + 7 (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.7.2

运用分配律。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + 2 t \frac{2}{t^{2}} + 2 t \frac{6}{t^{3}} + 7 (\frac{2}{t^{2}} + \frac{6}{t^{3}})$

解题步骤 3.7.7.3

运用分配律。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + 2 t \frac{2}{t^{2}} + 2 t \frac{6}{t^{3}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.7.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.8.1.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.8.1.1.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + t \cdot 2 \frac{2}{t^{2}} + 2 t \frac{6}{t^{3}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.1.2

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + t \cdot 2 \frac{2}{t \cdot t} + 2 t \frac{6}{t^{3}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.1.3

约去公因数。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + t \cdot 2 \frac{2}{t \cdot t} + 2 t \frac{6}{t^{3}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + 2 \frac{2}{t} + 2 t \frac{6}{t^{3}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{t}$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{2 \cdot 2}{t} + 2 t \frac{6}{t^{3}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + 2 t \frac{6}{t^{3}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.4

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.8.1.4.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + t \cdot 2 \frac{6}{t^{3}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.4.2

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + t \cdot 2 \frac{6}{t \cdot t^{2}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.4.3

约去公因数。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + t \cdot 2 \frac{6}{t \cdot t^{2}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.4.4

重写表达式。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + 2 \frac{6}{t^{2}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.5

组合 $2$ 和 $\frac{6}{t^{2}}$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + \frac{2 \cdot 6}{t^{2}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.6

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + \frac{12}{t^{2}} + 7 \frac{2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.7

乘以 $7 \frac{2}{t^{2}}$ 。

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解题步骤 3.7.8.1.7.1

组合 $7$ 和 $\frac{2}{t^{2}}$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + \frac{12}{t^{2}} + \frac{7 \cdot 2}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.7.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + \frac{12}{t^{2}} + \frac{14}{t^{2}} + 7 \frac{6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.8

乘以 $7 \frac{6}{t^{3}}$ 。

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解题步骤 3.7.8.1.8.1

组合 $7$ 和 $\frac{6}{t^{3}}$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + \frac{12}{t^{2}} + \frac{14}{t^{2}} + \frac{7 \cdot 6}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.1.8.2

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + \frac{12}{t^{2}} + \frac{14}{t^{2}} + \frac{42}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + \frac{12 + 14}{t^{2}} + \frac{42}{t^{3}}$

解题步骤 3.7.8.3

将 $12$ 和 $14$ 相加。

$- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + \frac{26}{t^{2}} + \frac{42}{t^{3}}$

解题步骤 3.8

合并 $- \frac{4}{t} - \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{4}{t} + \frac{26}{t^{2}} + \frac{42}{t^{3}}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.8.1

将 $- \frac{4}{t}$ 和 $\frac{4}{t}$ 相加。

$- \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + 0 + \frac{26}{t^{2}} + \frac{42}{t^{3}}$

解题步骤 3.8.2

将 $- \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{46}{t^{2}} - \frac{150}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}} + \frac{26}{t^{2}} + \frac{42}{t^{3}}$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{- 46 + 26}{t^{2}} + \frac{- 150 + 42}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}}$

解题步骤 3.10

将 $- 46$ 和 $26$ 相加。

$\frac{- 20}{t^{2}} + \frac{- 150 + 42}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}}$

解题步骤 3.11

将 $- 150$ 和 $42$ 相加。

$\frac{- 20}{t^{2}} + \frac{- 108}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}}$

解题步骤 3.12

化简每一项。

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解题步骤 3.12.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{t^{2}} + \frac{- 108}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}}$

解题步骤 3.12.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{t^{2}} - \frac{108}{t^{3}} + \frac{- 108}{t^{4}}$

解题步骤 3.12.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{t^{2}} - \frac{108}{t^{3}} - \frac{108}{t^{4}}$

微积分学 示例

微积分学示例