微积分学示例

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ 且 $g (t) = 6000 + 500 t + 10 t^{2}$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) \frac{d}{d t} [6000 + 500 t + 10 t^{2}] + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $6000 + 500 t + 10 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $6000$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6000$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [500 t]$ 相加。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2.4

因为 $500$ 对于 $t$ 是常数，所以 $500 t$ 对 $t$ 的导数是 $500 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2.6

将 $500$ 乘以 $1$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2.7

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $10 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 (2 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}]$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

解题步骤 2.11

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

解题步骤 2.12

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ 相加。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

解题步骤 2.13

因为 $0.2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.2 t$ 对 $t$ 的导数是 $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

解题步骤 2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

解题步骤 2.15

将 $0.2$ 乘以 $1$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

解题步骤 2.16

因为 $0.01$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.01 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 2.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 (2 t))$

解题步骤 2.18

将 $2$ 乘以 $0.01$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

解题步骤 3.1.2

从 $(6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

解题步骤 3.2

将 $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ 乘以 $1$ 。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ 。

$10 \cdot 500 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $10$ 乘以 $500$ 。

$5000 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.2

将 $20$ 乘以 $10$ 。

$5000 + 200 t + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.3

将 $500$ 乘以 $0.2$ 。

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t \cdot t + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.5

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.2.5.1

移动 $t$ 。

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 (t \cdot t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.5.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.6

将 $0.2$ 乘以 $20$ 。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.7

将 $500$ 乘以 $0.01$ 。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.8

使用乘法的交换性质重写。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{2} t + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.9

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.2.9.1

移动 $t$ 。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t \cdot t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.9.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.9.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t^{1} t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{1 + 2} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.9.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.2.10

将 $0.01$ 乘以 $20$ 。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.3

将 $200 t$ 和 $100 t$ 相加。

$5000 + 300 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.4

将 $4 t^{2}$ 和 $5 t^{2}$ 相加。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

解题步骤 3.4.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 0.2 \cdot 6000 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

解题步骤 3.4.6

化简每一项。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $0.2$ 乘以 $6000$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

解题步骤 3.4.6.2

将 $500$ 乘以 $0.2$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

解题步骤 3.4.6.3

将 $10$ 乘以 $0.2$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

解题步骤 3.4.6.4

将 $6000$ 乘以 $0.02$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

解题步骤 3.4.6.5

使用乘法的交换性质重写。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t \cdot t + 0.02 t (10 t^{2})$

解题步骤 3.4.6.6

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.6.6.1

移动 $t$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 (t \cdot t) + 0.02 t (10 t^{2})$

解题步骤 3.4.6.6.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

解题步骤 3.4.6.7

将 $0.02$ 乘以 $500$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

解题步骤 3.4.6.8

使用乘法的交换性质重写。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t \cdot t^{2}$

解题步骤 3.4.6.9

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.6.9.1

移动 $t^{2}$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t)$

解题步骤 3.4.6.9.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.4.6.9.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t^{1})$

解题步骤 3.4.6.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{2 + 1}$

解题步骤 3.4.6.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{3}$

解题步骤 3.4.6.10

将 $0.02$ 乘以 $10$ 。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

解题步骤 3.4.7

将 $100 t$ 和 $120 t$ 相加。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 2 t^{2} + 220 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

解题步骤 3.4.8

将 $2 t^{2}$ 和 $10 t^{2}$ 相加。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

解题步骤 3.5

将 $5000$ 和 $1200$ 相加。

$300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

解题步骤 3.6

将 $300 t$ 和 $220 t$ 相加。

$9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 520 t + 0.2 t^{3}$

解题步骤 3.7

将 $9 t^{2}$ 和 $12 t^{2}$ 相加。

$21 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 520 t + 0.2 t^{3}$

解题步骤 3.8

将 $0.2 t^{3}$ 和 $0.2 t^{3}$ 相加。

$21 t^{2} + 0.4 t^{3} + 6200 + 520 t$

微积分学 示例

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