微积分学示例

$\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{\sqrt{t}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

从 $t^{3} + 2 t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

从 $2 t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + t^{2} \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3

从 $t^{2} t + t^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t + 2)}{t^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $t^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{d}{d t} [t^{2} (t + 2) t^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2}} t^{2} (t + 2)]$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2} (t + 2)]$

解题步骤 4.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (t + 2)]$

解题步骤 4.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 4}{2}} (t + 2)]$

解题步骤 4.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}} (t + 2)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (t) = t + 2$ 。

$t^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2] + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $t + 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ 。

$t^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 6.3

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$t^{\frac{3}{2}} (1 + 0) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 6.4

化简表达式。

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解题步骤 6.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$t^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 6.4.2

将 $t^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 10.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 11

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$t^{\frac{3}{2}} + t \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12.2

合并项。

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解题步骤 12.2.1

组合 $t$ 和 $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{t (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12.2.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (t^{1} t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12.2.5

在公分母上合并分子。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12.2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12.2.7

组合 $2$ 和 $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 12.2.8

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12.2.9

从 $6 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 12.2.10

约去公因数。

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解题步骤 12.2.10.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 12.2.10.2

约去公因数。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.10.3

重写表达式。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 12.2.10.4

用 $3 t^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 12.2.11

要将 $t^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 12.2.12

组合 $t^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 12.2.13

在公分母上合并分子。

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 12.2.14

将 $2$ 移到 $t^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 12.2.15

将 $2 t^{\frac{3}{2}}$ 和 $3 t^{\frac{3}{2}}$ 相加。

$\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 12.3

重新排序项。

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

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