微积分学示例

$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x}} - 1}{x}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ 。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

解题步骤 1.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ 。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{- \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ 。

$\frac{\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

解题步骤 1.5

合并和化简分母。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ 。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}}{x}$

解题步骤 1.5.2

对 $\sqrt{1 + x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x}}}{x}$

解题步骤 1.5.3

对 $\sqrt{1 + x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1}}}{x}$

解题步骤 1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}}}{x}$

解题步骤 1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{2}}}{x}$

解题步骤 1.5.6

将 ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ 重写为 $1 + x$ 。

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解题步骤 1.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x}$ 重写成 ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{x}$

解题步骤 1.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{x}$

解题步骤 1.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.5.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{1}}}{x}$

解题步骤 1.5.6.5

化简。

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.6

运用分配律。

$\frac{\frac{1 \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.7

将 $\sqrt{1 + x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.8

乘以 $- \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ 。

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解题步骤 1.8.1

对 $\sqrt{1 + x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - ({\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x})}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.8.2

对 $\sqrt{1 + x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - ({\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1})}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {\sqrt{1 + x}}^{2}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.9.1

将 ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ 重写为 $1 + x$ 。

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解题步骤 1.9.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x}$ 重写成 ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.9.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.9.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.9.1.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{1}}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.9.1.5

化简。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - (1 + x)}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.9.2

运用分配律。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - 1 \cdot 1 - x}{1 + x}}{x}$

解题步骤 1.9.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{1 + x}}{x}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{1 + x} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 3

将 $\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{1 + x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{(1 + x) x}$

解题步骤 4

将 $\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{(1 + x) x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{x (1 + x)}$

微积分学 示例

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