微积分学示例

$\ln (x - 2) < 0$

解题步骤 1

将不等式转换为等式。

$\ln (x - 2) = 0$

解题步骤 2

求解方程。

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解题步骤 2.1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x - 2)} = e^{0}$

解题步骤 2.2

使用对数的定义将 $\ln (x - 2) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = x - 2$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将方程重写为 $x - 2 = e^{0}$ 。

$x - 2 = e^{0}$

解题步骤 2.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x - 2 = 1$

解题步骤 2.3.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.3.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 1 + 2$

解题步骤 2.3.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x = 3$

$x = 3$

$x = 3$

$x = 3$

解题步骤 3

求 $\ln (x - 2)$ 的定义域。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (x - 2)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 2 > 0$

解题步骤 3.2

在不等式两边同时加上 $2$ 。

$x > 2$

解题步骤 3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(2, \infty)$

$(2, \infty)$

解题步骤 4

使用每一个根建立验证区间。

$x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

解题步骤 5

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 5.1

检验区间 $x < 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.1.1

选择区间 $x < 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 5.1.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$\ln ((0) - 2) < 0$

解题步骤 5.1.3

判断不等式是否成立。

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解题步骤 5.1.3.1

因为方程无定义，所以方程无解。

$无定义$

解题步骤 5.1.3.2

左边无解，即给定的命题是假命题。

False

False

False

解题步骤 5.2

检验区间 $2 < x < 3$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.2.1

选择区间 $2 < x < 3$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2.5$

解题步骤 5.2.2

使用原不等式中的 $2.5$ 替换 $x$ 。

$\ln ((2.5) - 2) < 0$

解题步骤 5.2.3

左边的 $- 0.69314718$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

True

解题步骤 5.3

检验区间 $x > 3$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 5.3.1

选择区间 $x > 3$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 6$

解题步骤 5.3.2

使用原不等式中的 $6$ 替换 $x$ 。

$\ln ((6) - 2) < 0$

解题步骤 5.3.3

左边的 $1.38629436$ 不小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

False

解题步骤 5.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < 2$ 为假

$2 < x < 3$ 为真

$x > 3$ 为假

$x < 2$ 为假

$2 < x < 3$ 为真

$x > 3$ 为假

解题步骤 6

解由使等式成立的所有区间组成。

$2 < x < 3$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$2 < x < 3$

区间计数法：

$(2, 3)$

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$