微积分学示例

$\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$ 。

$\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}} \cdot \frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}}$ 。

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{(\sqrt{a + b} - \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{{\sqrt{a + b}}^{2} + \sqrt{(a + b) (a - b)} - \sqrt{(a + b) (a - b)} - {\sqrt{a - b}}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

对 $\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1} {(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1}}{2 b}$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{1 + 1}}{2 b}$

解题步骤 3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{2}}{2 b}$

解题步骤 4

将 ${(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})$ 。

$\frac{(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

解题步骤 5

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{a + b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b}) + \sqrt{a - b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{a + b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} (\sqrt{a + b} + \sqrt{a - b})}{2 b}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{a + b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

乘以 $\sqrt{a + b} \sqrt{a + b}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $\sqrt{a + b}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1} \sqrt{a + b} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.1.2

对 $\sqrt{a + b}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1} {\sqrt{a + b}}^{1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{1 + 1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sqrt{a + b}}^{2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.2

将 ${\sqrt{a + b}}^{2}$ 重写为 $a + b$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{a + b}$ 重写成 ${(a + b)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{({(a + b)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(a + b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{{(a + b)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.4.1

约去公因数。

$\frac{{(a + b)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.2.4.2

重写表达式。

$\frac{{(a + b)}^{1} + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.2.5

化简。

$\frac{a + b + \sqrt{a + b} \sqrt{a - b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{a - b} \sqrt{a + b} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.5

乘以 $\sqrt{a - b} \sqrt{a - b}$ 。

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解题步骤 6.1.5.1

对 $\sqrt{a - b}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1} \sqrt{a - b}}{2 b}$

解题步骤 6.1.5.2

对 $\sqrt{a - b}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1} {\sqrt{a - b}}^{1}}{2 b}$

解题步骤 6.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{1 + 1}}{2 b}$

解题步骤 6.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {\sqrt{a - b}}^{2}}{2 b}$

解题步骤 6.1.6

将 ${\sqrt{a - b}}^{2}$ 重写为 $a - b$ 。

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解题步骤 6.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{a - b}$ 重写成 ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {({(a - b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 b}$

解题步骤 6.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 b}$

解题步骤 6.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}{2 b}$

解题步骤 6.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.6.4.1

约去公因数。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}{2 b}$

解题步骤 6.1.6.4.2

重写表达式。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + {(a - b)}^{1}}{2 b}$

解题步骤 6.1.6.5

化简。

$\frac{a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} + a - b}{2 b}$

解题步骤 6.2

将 $a$ 和 $a$ 相加。

$\frac{2 a + b + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)} - b}{2 b}$

解题步骤 6.3

从 $b$ 中减去 $b$ 。

$\frac{2 a + 0 + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

解题步骤 6.4

将 $2 a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 a + \sqrt{(a + b) (a - b)} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(a + b) (a - b)}$ 重写成 ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + \sqrt{(a - b) (a + b)}}{2 b}$

解题步骤 7.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(a - b) (a + b)}$ 重写成 ${((a - b) (a + b))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + {((a - b) (a + b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

解题步骤 7.3

重新排序 $(a - b) (a + b)$ 的因式。

$\frac{2 a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}} + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

解题步骤 7.4

将 ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ 和 ${((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{2 a + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

解题步骤 7.5

从 $2 a + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $2 a$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (a) + 2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}}{2 b}$

解题步骤 7.5.2

从 $2 {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (a) + 2 ({((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.5.3

从 $2 (a) + 2 ({((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (a + {((a + b) (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.6

使用 FOIL 方法展开 $(a + b) (a - b)$ 。

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解题步骤 7.6.1

运用分配律。

$\frac{2 (a + {(a (a - b) + b (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.6.2

运用分配律。

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + a (- b) + b (a - b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.6.3

运用分配律。

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.7

合并 $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ 中相反的项。

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解题步骤 7.7.1

按照 $a (- b)$ 和 $b a$ 重新排列因数。

$\frac{2 (a + {(a \cdot a - a b + a b + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.7.2

将 $- a b$ 和 $a b$ 相加。

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + 0 + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.7.3

将 $a \cdot a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (a + {(a \cdot a + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.8

化简每一项。

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解题步骤 7.8.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{2 (a + {(a^{2} + b (- b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b \cdot b)}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.8.3

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 7.8.3.1

移动 $b$ 。

$\frac{2 (a + {(a^{2} - (b \cdot b))}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 7.8.3.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 8.1

约去公因数。

$\frac{2 (a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 b}$

解题步骤 8.2

重写表达式。

$\frac{a + {(a^{2} - b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{b}$

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