微积分学示例

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} - x + 4}{x^{3} + 1}$

解题步骤 1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

解题步骤 2

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$x^{2}$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

解题步骤 3

将新的商式项乘以除数。

$x^{2}$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

+

$x^{5}$

+

$0$

+

$0$

+

$x^{2}$

解题步骤 4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} + 0 + 0 + x^{2}$ 中的所有符号

$x^{2}$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

解题步骤 5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{2}$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

解题步骤 6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{2}$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

-

$x$

解题步骤 7

将被除数中的最高阶项 $- x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$x^{2}$

-

$x$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

-

$x$

解题步骤 8

将新的商式项乘以除数。

$x^{2}$

-

$x$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

-

$x$

-

$x^{4}$

+

$0$

+

$0$

-

$x$

解题步骤 9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{4} + 0 + 0 - x$ 中的所有符号

$x^{2}$

-

$x$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

-

$x$

+

$x^{4}$

-

$0$

-

$0$

+

$x$

解题步骤 10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{2}$

-

$x$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

-

$x$

+

$x^{4}$

-

$0$

-

$0$

+

$x$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

+

$0$

解题步骤 11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{2}$

-

$x$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

-

$x$

+

$x^{4}$

-

$0$

-

$0$

+

$x$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

+

$0$

+

$4$

解题步骤 12

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$x^{2}$

-

$x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

-

$x$

+

$x^{4}$

-

$0$

-

$0$

+

$x$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

+

$0$

+

$4$

解题步骤 13

将新的商式项乘以除数。

$x^{2}$

-

$x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{5}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$x$

+

$4$

-

$x^{5}$

-

$0$

-

$0$

-

$x^{2}$

-

$x^{4}$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

-

$x$

+

$x^{4}$

-

$0$

-

$0$

+

$x$

+

$x^{3}$

+

$x^{2}$

+

$0$

+

$4$

+

$x^{3}$

+

$0$

+

$0$

+

$1$

解题步骤 14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 0 + 0 + 1$ 中的所有符号

									$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{5}$	-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$x$	+	$4$
								-	$x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$x^{2}$
										-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$x$
										+	$x^{4}$	-	$0$	-	$0$	+	$x$
												+	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
												-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	-	$1$

解题步骤 15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

									$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{5}$	-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$x$	+	$4$
								-	$x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$x^{2}$
										-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$x$
										+	$x^{4}$	-	$0$	-	$0$	+	$x$
												+	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
												-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	-	$1$
														+	$x^{2}$	+	$0$	+	$3$

解题步骤 16

最终答案为商加上余数除以除数。

$x^{2} - x + 1 + \frac{x^{2} + 3}{x^{3} + 1}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$