微积分学示例

$\frac{2 x - 1}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x + 1)}^{3}$ 。

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.5

约去 ${(x + 1)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.5.2

用 $2 x - 1$ 除以 $1$ 。

$2 x - 1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 ${(x + 1)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$2 x - 1 = \frac{A {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6.2

约去 ${(x + 1)}^{3}$ 和 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $(B) {(x + 1)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.1

乘以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6.2.2.2

约去公因数。

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6.2.2.3

重写表达式。

$2 x - 1 = A + \frac{B (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6.2.2.4

用 $B (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6.3

运用分配律。

$2 x - 1 = A + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6.4

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

解题步骤 1.6.5

约去 ${(x + 1)}^{3}$ 和 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.5.1

从 $(C) {(x + 1)}^{3}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

解题步骤 1.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.5.2.1

乘以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.5.2.2

约去公因数。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.5.2.3

重写表达式。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{C {(x + 1)}^{2}}{1}$

解题步骤 1.6.5.2.4

用 $C {(x + 1)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + C {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 1.6.6

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + C ((x + 1) (x + 1))$

解题步骤 1.6.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.6.7.1

运用分配律。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

解题步骤 1.6.7.2

运用分配律。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

解题步骤 1.6.7.3

运用分配律。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.6.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.6.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.6.8.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.6.8.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.6.8.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1)$

解题步骤 1.6.8.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + 2 x + 1)$

解题步骤 1.6.9

运用分配律。

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + C (2 x) + C \cdot 1$

解题步骤 1.6.10

化简。

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解题步骤 1.6.10.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1$

解题步骤 1.6.10.2

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

移动 $B$ 。

$2 x - 1 = A + B x + C x^{2} + 2 C x + B + C$

解题步骤 1.7.2

移动 $A$ 。

$2 x - 1 = B x + C x^{2} + 2 C x + A + B + C$

解题步骤 1.7.3

将 $B x$ 和 $C x^{2}$ 重新排序。

$2 x - 1 = C x^{2} + B x + 2 C x + A + B + C$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = B + 2 C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = A + B + C$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $0$ 替换 $2 = B + 2 C$ 中所有出现的 $C$ .

$2 = B + 2 (0)$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $B + 2 (0)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$2 = B + 0$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $B$ 和 $0$ 相加。

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

解题步骤 3.2.3

使用 $0$ 替换 $- 1 = A + B + C$ 中所有出现的 $C$ .

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

解题步骤 3.2.4

化简 $- 1 = A + B + 0$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.1.1

去掉圆括号。

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

解题步骤 3.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将 $A + B$ 和 $0$ 相加。

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

解题步骤 3.3

将方程重写为 $B = 2$ 。

$B = 2$

$- 1 = A + B$

$C = 0$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $2$ 替换 $- 1 = A + B$ 中所有出现的 $B$ .

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

去掉圆括号。

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

解题步骤 3.5

在 $- 1 = A + 2$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $A + 2 = - 1$ 。

$A + 2 = - 1$

$B = 2$

$C = 0$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$A = - 1 - 2$

$B = 2$

$C = 0$

解题步骤 3.5.2.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

解题步骤 3.6

求解方程组。

$A = - 3 B = 2 C = 0$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$A = - 3, B = 2, C = 0$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

微积分学 示例

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