微积分学示例

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 1) (x + 2)$ 。

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.4

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.5

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $(A) (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.6.3

将 $2$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.6.4

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.4.1

约去公因数。

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

解题步骤 1.6.4.2

用 $(B) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

解题步骤 1.6.5

运用分配律。

$1 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

解题步骤 1.6.6

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$1 = A x + 2 A + B x + B$

解题步骤 1.7

移动 $2 A$ 。

$1 = A x + B x + 2 A + B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = 2 A + B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $0 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$1 = 2 A + B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- B$ 替换 $1 = 2 A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = 2 (- B) + B$

$A = - B$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- B) + B$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 = - 2 B + B$

$A = - B$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 2 B$ 和 $B$ 相加。

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

解题步骤 3.3

在 $1 = - B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- B = 1$ 。

$- B = 1$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2

将 $- B = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- B = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.2.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- 1$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $- 1$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = 1, B = - 1$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{1}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 2}$

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