微积分学示例

$\frac{x^{3}}{x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 27}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

对分数进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{x^{3}}{(x^{3} - 3 x^{2}) + 9 x - 27}$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x^{3}}{x^{2} (x - 3) + 9 (x - 3)}$

解题步骤 1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 3$ 来因式分解多项式。

$\frac{x^{3}}{(x - 3) (x^{2} + 9)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 3}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 3) (x^{2} + 9)$ 。

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.5

约去 $x - 3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.6

约去 $x^{2} + 9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.6.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

约去 $x - 3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$x^{3} = \frac{A (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (x^{2} + 9)$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$x^{3} = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.7.3

将 $9$ 移到 $A$ 的左侧。

$x^{3} = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.7.4

约去 $x^{2} + 9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.4.1

约去公因数。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 1.7.4.2

用 $(B x + C) (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

解题步骤 1.7.5

使用 FOIL 方法展开 $(B x + C) (x - 3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.5.1

运用分配律。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

解题步骤 1.7.5.2

运用分配律。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

解题步骤 1.7.5.3

运用分配律。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

解题步骤 1.7.6

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.6.1.1

移动 $x$ 。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

解题步骤 1.7.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

解题步骤 1.7.6.2

将 $- 3$ 移到 $B x$ 的左侧。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

解题步骤 1.7.6.3

将 $- 3$ 移到 $C$ 的左侧。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

解题步骤 1.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

移动 $B$ 。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

解题步骤 1.8.2

移动 $9 A$ 。

$x^{3} = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = - 3 B + C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 9 A - 3 C$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

解题步骤 3

求解方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

在 $0 = A + B$ 中求解 $A$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用 $- B$ 替换 $0 = 9 A - 3 C$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = 9 (- B) - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

解题步骤 3.3

在 $0 = - 3 B + C$ 中求解 $C$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- 3 B + C = 0$ 。

$- 3 B + C = 0$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $3 B$ 。

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $3 B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

使用 $3 B$ 替换 $0 = - 9 B - 3 C$ 中所有出现的 $C$ .

$0 = - 9 B - 3 (3 B)$

$C = 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

化简 $- 9 B - 3 (3 B)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$0 = - 9 B - 9 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.4.2.1.2

从 $- 9 B$ 中减去 $9 B$ 。

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.5

在 $0 = - 18 B$ 中求解 $B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $- 18 B = 0$ 。

$- 18 B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.2

将 $- 18 B = 0$ 中的每一项除以 $- 18$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

将 $- 18 B = 0$ 中的每一项都除以 $- 18$ 。

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $- 18$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 18$ 。

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.6

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

使用 $0$ 替换 $C = 3 B$ 中所有出现的 $B$ .

$C = 3 (0)$

$B = 0$

$A = - B$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

解题步骤 3.6.3

使用 $0$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (0)$

$C = 0$

$B = 0$

解题步骤 3.6.4

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.4.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$A = 0, C = 0, B = 0$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 9}$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $(0) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{x - 3} + \frac{(0) \cdot x}{x^{2} + 9}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0}{x^{2} + 9}$

微积分学 示例

微积分学示例