微积分学示例

$\frac{- 4 s^{2} + s + 1}{s (s^{2} + 1)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $s (s^{2} + 1)$ 。

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.3

约去 $s$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.4

约去 $s^{2} + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.4.2

用 $- 4 s^{2} + s + 1$ 除以 $1$ 。

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

约去 $s$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.1.2

用 $A (s^{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A (s^{2} + 1) + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.4

约去 $s^{2} + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.1

约去公因数。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.4.2

用 $(B s + C) (s)$ 除以 $1$ 。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + (B s + C) (s)$

解题步骤 1.5.5

运用分配律。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s \cdot s + C s$

解题步骤 1.5.6

通过指数相加将 $s$ 乘以 $s$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.6.1

移动 $s$ 。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B (s \cdot s) + C s$

解题步骤 1.5.6.2

将 $s$ 乘以 $s$ 。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s^{2} + C s$

解题步骤 1.6

移动 $A$ 。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + B s^{2} + C s + A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使方程两边 $s^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 4 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边 $s$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $s$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

解题步骤 3

求解方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $C = 1$ 。

$C = 1$

$- 4 = A + B$

$1 = A$

解题步骤 3.2

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = A + B$

解题步骤 3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用 $1$ 替换 $- 4 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 4 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 1$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

去掉圆括号。

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

解题步骤 3.4

在 $- 4 = 1 + B$ 中求解 $B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $1 + B = - 4$ 。

$1 + B = - 4$

$A = 1$

$C = 1$

解题步骤 3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$B = - 4 - 1$

$A = 1$

$C = 1$

解题步骤 3.4.2.2

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

解题步骤 3.5

求解方程组。

$B = - 5 A = 1 C = 1$

解题步骤 3.6

列出所有解。

$B = - 5, A = 1, C = 1$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{1}{s} + \frac{- 5 s + 1}{s^{2} + 1}$

微积分学 示例

微积分学示例