微积分学示例

$f (x) = \sqrt{2 x} {(1 - 4 x)}^{3}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

解题步骤 1.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

解题步骤 1.2.2

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

解题步骤 1.3

因为 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = {(1 - 4 x)}^{3}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{3}] + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 1 - 4 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 4 x$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.3

使用 $1 - 4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $1 - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 相加。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.5

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.7

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 11

组合 ${(1 - 4 x)}^{3}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 13

要将 $x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 14

组合 $x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 15

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17

化简表达式。

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解题步骤 17.1

在公分母上合并分子。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1 + 1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 17.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.1

约去公因数。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.2

重写表达式。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{1}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x^{1} + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20

化简。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21

组合 $2^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 23

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 23.1

移动 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.2

将 $2^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 23.2.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

化简分子。

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解题步骤 24.1.1

从 $- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}$ 中分解出因数 ${(1 - 4 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 24.1.1.1

从 $- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x$ 中分解出因数 ${(1 - 4 x)}^{2}$ 。

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.1.1.2

从 ${(1 - 4 x)}^{3}$ 中分解出因数 ${(1 - 4 x)}^{2}$ 。

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.1.1.3

从 ${(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)$ 中分解出因数 ${(1 - 4 x)}^{2}$ 。

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x + 1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.1.2

从 $- 24 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 28 x + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2

从 $- 28 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) - 1 (- 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.4

从 $- (28 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.5

将 $- (28 x - 1)$ 重写为 $- 1 (28 x - 1)$ 。

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 1 (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (28 x - 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

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