微积分学示例

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $π (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用分配律。

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

解题步骤 2.2.1.1.2

将 $- 1$ 移到 $π$ 的左侧。

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1 π$ 重写为 $- π$ 。

$π x - π \geq \arcsin (0)$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$π x - π \geq 0$

解题步骤 2.4

在不等式两边同时加上 $π$ 。

$π x \geq π$

解题步骤 2.5

将 $π x \geq π$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $π x \geq π$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{π}{π}$

解题步骤 2.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.1.1

约去公因数。

$x \geq \frac{π}{π}$

解题步骤 2.5.3.1.2

重写表达式。

$x \geq 1$

解题步骤 2.6

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$π x - π = π - 0$

解题步骤 2.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$π x - π = π$

解题步骤 2.7.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.7.2.1

在等式两边都加上 $π$ 。

$π x = π + π$

解题步骤 2.7.2.2

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$π x = 2 π$

解题步骤 2.7.3

将 $π x = 2 π$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 2.7.3.1

将 $π x = 2 π$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

解题步骤 2.7.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.3.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

解题步骤 2.7.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2 π}{π}$

解题步骤 2.7.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.3.3.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.3.1.1

约去公因数。

$x = \frac{2 π}{π}$

解题步骤 2.7.3.3.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.8

求 $\sin (π (x - 1))$ 的周期。

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解题步骤 2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.8.2

使用周期公式中的 $π$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| π |}$

解题步骤 2.8.3

$π$ 约为 $3.14159265$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{π}$

解题步骤 2.8.4

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{π}$

解题步骤 2.8.4.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.9

$\sin (π (x - 1))$ 函数的周期为 $2$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2$ 弧度将重复出现。

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.10

合并答案。

$x = 1 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.11

使用每一个根建立验证区间。

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

解题步骤 2.12

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 2.12.1

检验区间 $0 < x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.12.1.1

选择区间 $0 < x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0.5$

解题步骤 2.12.1.2

使用原不等式中的 $0.5$ 替换 $x$ 。

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

解题步骤 2.12.1.3

左边的 $- 1$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 2.12.2

检验区间 $1 < x < 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 2.12.2.1

选择区间 $1 < x < 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 1.5$

解题步骤 2.12.2.2

使用原不等式中的 $1.5$ 替换 $x$ 。

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

解题步骤 2.12.2.3

左边的 $1$ 大于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 2.12.3

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$0 < x < 1$ 为假

$1 < x < 2$ 为真

$0 < x < 1$ 为假

$1 < x < 2$ 为真

解题步骤 2.13

解由使等式成立的所有区间组成。

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $\sqrt{4 - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$4 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从不等式两边同时减去 $4$ 。

$- x^{2} \geq - 4$

解题步骤 4.2

将 $- x^{2} \geq - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- x^{2} \geq - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 4.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 4$

解题步骤 4.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

解题步骤 4.4

化简方程。

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解题步骤 4.4.1

化简左边。

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解题步骤 4.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{4}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简 $\sqrt{4}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 4.4.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 2 |$

解题步骤 4.4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$| x | \leq 2$

解题步骤 4.5

将 $| x | \leq 2$ 书写为分段式。

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解题步骤 4.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 4.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 2$

解题步骤 4.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 4.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 2$

解题步骤 4.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 4.6

求 $x \leq 2$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 2$

解题步骤 4.7

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 2$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $- x \leq 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.7.1.1

将 $- x \leq 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

解题步骤 4.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

解题步骤 4.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{2}{- 1}$

解题步骤 4.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.7.1.3.1

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 2$

解题步骤 4.7.2

求 $x \geq - 2$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 2 \leq x < 0$

解题步骤 4.8

求解的并集。

$- 2 \leq x \leq 2$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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