微积分学示例

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 64 = 0$

解题步骤 1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y^{2} + z^{2} - 64 = - x^{2}$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $z^{2}$ 。

$y^{2} - 64 = - x^{2} - z^{2}$

解题步骤 1.3

在等式两边都加上 $64$ 。

$y^{2} = - x^{2} - z^{2} + 64$

解题步骤 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - z^{2} + 64}$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- x^{2} - z^{2} + 64}$

解题步骤 3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- x^{2} - z^{2} + 64}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- x^{2} - z^{2} + 64}$

$y = - \sqrt{- x^{2} - z^{2} + 64}$

$y = \sqrt{- x^{2} - z^{2} + 64}$

$y = - \sqrt{- x^{2} - z^{2} + 64}$

解题步骤 4

将 $\sqrt{- x^{2} - z^{2} + 64}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- x^{2} - z^{2} + 64 \geq 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在不等式两边同时加上 $z^{2}$ 。

$- x^{2} + 64 \geq z^{2}$

解题步骤 5.1.2

从不等式两边同时减去 $64$ 。

$- x^{2} \geq z^{2} - 64$

解题步骤 5.2

将 $- x^{2} \geq z^{2} - 64$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- x^{2} \geq z^{2} - 64$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

移动 $\frac{z^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x^{2} \leq - 1 \cdot z^{2} + \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot z^{2}$ 重写为 $- z^{2}$ 。

$x^{2} \leq - z^{2} + \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.1.3

用 $- 64$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq - z^{2} + 64$

解题步骤 5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{- z^{2} + 64}$

解题步骤 5.4

化简方程。

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解题步骤 5.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{- z^{2} + 64}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简 $\sqrt{- z^{2} + 64}$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{- z^{2} + 8^{2}}$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

将 $- z^{2}$ 和 $8^{2}$ 重新排序。

$| x | \leq \sqrt{8^{2} - z^{2}}$

解题步骤 5.4.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 8$ 和 $b = z$ 。

$| x | \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$

解题步骤 5.5

将 $| x | \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 书写为分段式。

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解题步骤 5.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 5.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$

解题步骤 5.5.3

求 $x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 的定义域，并求与 $x \geq 0$ 的交点。

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解题步骤 5.5.3.1

求 $x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 的定义域。

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解题步骤 5.5.3.1.1

将 $\sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(8 + z) (8 - z) \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1

化简 $(8 + z) (8 - z)$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(8 + z) (8 - z)$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1.1.1

运用分配律。

$8 (8 - z) + z (8 - z) \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.1.2

运用分配律。

$8 \cdot 8 + 8 (- z) + z (8 - z) \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.1.3

运用分配律。

$8 \cdot 8 + 8 (- z) + z \cdot 8 + z (- z) \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$64 + 8 (- z) + z \cdot 8 + z (- z) \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$64 - 8 z + z \cdot 8 + z (- z) \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.1.3

将 $8$ 移到 $z$ 的左侧。

$64 - 8 z + 8 \cdot z + z (- z) \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$64 - 8 z + 8 z - z \cdot z \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.1.5.1

移动 $z$ 。

$64 - 8 z + 8 z - (z \cdot z) \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.1.5.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$64 - 8 z + 8 z - z^{2} \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.2

将 $- 8 z$ 和 $8 z$ 相加。

$64 + 0 - z^{2} \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.1.2.3

将 $64$ 和 $0$ 相加。

$64 - z^{2} \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.2

从不等式两边同时减去 $64$ 。

$- z^{2} \geq - 64$

解题步骤 5.5.3.1.2.3

将 $- z^{2} \geq - 64$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.3.1.2.3.1

将 $- z^{2} \geq - 64$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- z^{2}}{- 1} \leq \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.5.3.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.3.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{z^{2}}{1} \leq \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.5.3.1.2.3.2.2

用 $z^{2}$ 除以 $1$ 。

$z^{2} \leq \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.5.3.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1.2.3.3.1

用 $- 64$ 除以 $- 1$ 。

$z^{2} \leq 64$

解题步骤 5.5.3.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{z^{2}} \leq \sqrt{64}$

解题步骤 5.5.3.1.2.5

化简方程。

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解题步骤 5.5.3.1.2.5.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.3.1.2.5.1.1

从根式下提出各项。

$| z | \leq \sqrt{64}$

解题步骤 5.5.3.1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1.2.5.2.1

化简 $\sqrt{64}$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.2.5.2.1.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$| z | \leq \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 5.5.3.1.2.5.2.1.2

从根式下提出各项。

$| z | \leq | 8 |$

解题步骤 5.5.3.1.2.5.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $8$ 之间的距离为 $8$ 。

$| z | \leq 8$

解题步骤 5.5.3.1.2.6

将 $| z | \leq 8$ 书写为分段式。

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解题步骤 5.5.3.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$z \geq 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.6.2

在 $z$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$z \leq 8$

解题步骤 5.5.3.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$z < 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.6.4

在 $z$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- z \leq 8$

解题步骤 5.5.3.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} z \leq 8 & z \geq 0 \\ - z \leq 8 & z < 0 \end{cases}$

解题步骤 5.5.3.1.2.7

求 $z \leq 8$ 和 $z \geq 0$ 的交点。

$0 \leq z \leq 8$

解题步骤 5.5.3.1.2.8

当 $z < 0$ 时求解 $- z \leq 8$ 。

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解题步骤 5.5.3.1.2.8.1

将 $- z \leq 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.3.1.2.8.1.1

将 $- z \leq 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- z}{- 1} \geq \frac{8}{- 1}$

解题步骤 5.5.3.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.3.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{z}{1} \geq \frac{8}{- 1}$

解题步骤 5.5.3.1.2.8.1.2.2

用 $z$ 除以 $1$ 。

$z \geq \frac{8}{- 1}$

解题步骤 5.5.3.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1.2.8.1.3.1

用 $8$ 除以 $- 1$ 。

$z \geq - 8$

解题步骤 5.5.3.1.2.8.2

求 $z \geq - 8$ 和 $z < 0$ 的交点。

$- 8 \leq z < 0$

解题步骤 5.5.3.1.2.9

求解的并集。

$- 8 \leq z \leq 8$

解题步骤 5.5.3.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 8, 8]$

解题步骤 5.5.3.2

求 $x \geq 0$ 和 $[- 8, 8]$ 的交点。

$0 \leq x \leq 8$

解题步骤 5.5.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 5.5.5

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$

解题步骤 5.5.6

求 $- x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 的定义域，并求与 $x < 0$ 的交点。

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解题步骤 5.5.6.1

求 $- x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 的定义域。

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解题步骤 5.5.6.1.1

将 $\sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(8 + z) (8 - z) \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.6.1.2.1

化简 $(8 + z) (8 - z)$ 。

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解题步骤 5.5.6.1.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(8 + z) (8 - z)$ 。

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解题步骤 5.5.6.1.2.1.1.1

运用分配律。

$8 (8 - z) + z (8 - z) \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.1.2

运用分配律。

$8 \cdot 8 + 8 (- z) + z (8 - z) \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.1.3

运用分配律。

$8 \cdot 8 + 8 (- z) + z \cdot 8 + z (- z) \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$64 + 8 (- z) + z \cdot 8 + z (- z) \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$64 - 8 z + z \cdot 8 + z (- z) \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.1.3

将 $8$ 移到 $z$ 的左侧。

$64 - 8 z + 8 \cdot z + z (- z) \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$64 - 8 z + 8 z - z \cdot z \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.1.5.1

移动 $z$ 。

$64 - 8 z + 8 z - (z \cdot z) \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.1.5.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$64 - 8 z + 8 z - z^{2} \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.2

将 $- 8 z$ 和 $8 z$ 相加。

$64 + 0 - z^{2} \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.1.2.3

将 $64$ 和 $0$ 相加。

$64 - z^{2} \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.2

从不等式两边同时减去 $64$ 。

$- z^{2} \geq - 64$

解题步骤 5.5.6.1.2.3

将 $- z^{2} \geq - 64$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.6.1.2.3.1

将 $- z^{2} \geq - 64$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- z^{2}}{- 1} \leq \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.5.6.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.6.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{z^{2}}{1} \leq \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.5.6.1.2.3.2.2

用 $z^{2}$ 除以 $1$ 。

$z^{2} \leq \frac{- 64}{- 1}$

解题步骤 5.5.6.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.6.1.2.3.3.1

用 $- 64$ 除以 $- 1$ 。

$z^{2} \leq 64$

解题步骤 5.5.6.1.2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{z^{2}} \leq \sqrt{64}$

解题步骤 5.5.6.1.2.5

化简方程。

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解题步骤 5.5.6.1.2.5.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.6.1.2.5.1.1

从根式下提出各项。

$| z | \leq \sqrt{64}$

解题步骤 5.5.6.1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.6.1.2.5.2.1

化简 $\sqrt{64}$ 。

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解题步骤 5.5.6.1.2.5.2.1.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$| z | \leq \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 5.5.6.1.2.5.2.1.2

从根式下提出各项。

$| z | \leq | 8 |$

解题步骤 5.5.6.1.2.5.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $8$ 之间的距离为 $8$ 。

$| z | \leq 8$

解题步骤 5.5.6.1.2.6

将 $| z | \leq 8$ 书写为分段式。

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解题步骤 5.5.6.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$z \geq 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.6.2

在 $z$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$z \leq 8$

解题步骤 5.5.6.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$z < 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.6.4

在 $z$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- z \leq 8$

解题步骤 5.5.6.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} z \leq 8 & z \geq 0 \\ - z \leq 8 & z < 0 \end{cases}$

解题步骤 5.5.6.1.2.7

求 $z \leq 8$ 和 $z \geq 0$ 的交点。

$0 \leq z \leq 8$

解题步骤 5.5.6.1.2.8

当 $z < 0$ 时求解 $- z \leq 8$ 。

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解题步骤 5.5.6.1.2.8.1

将 $- z \leq 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.6.1.2.8.1.1

将 $- z \leq 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- z}{- 1} \geq \frac{8}{- 1}$

解题步骤 5.5.6.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.6.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{z}{1} \geq \frac{8}{- 1}$

解题步骤 5.5.6.1.2.8.1.2.2

用 $z$ 除以 $1$ 。

$z \geq \frac{8}{- 1}$

解题步骤 5.5.6.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.6.1.2.8.1.3.1

用 $8$ 除以 $- 1$ 。

$z \geq - 8$

解题步骤 5.5.6.1.2.8.2

求 $z \geq - 8$ 和 $z < 0$ 的交点。

$- 8 \leq z < 0$

解题步骤 5.5.6.1.2.9

求解的并集。

$- 8 \leq z \leq 8$

解题步骤 5.5.6.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 8, 8]$

解题步骤 5.5.6.2

求 $x < 0$ 和 $[- 8, 8]$ 的交点。

$- 8 \leq x < 0$

解题步骤 5.5.7

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)} & - 8 \leq x < 0 \end{cases}$

解题步骤 5.6

求 $x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 和 $0 \leq x \leq 8$ 的交点。

$0 \leq x \leq N o (Min i m u m)$

解题步骤 5.7

当 $- 8 \leq x < 0$ 时求解 $- x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 。

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解题步骤 5.7.1

将 $- x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.7.1.1

将 $- x \leq \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(8 + z) (8 - z)}}{- 1}$

解题步骤 5.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{(8 + z) (8 - z)}}{- 1}$

解题步骤 5.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{\sqrt{(8 + z) (8 - z)}}{- 1}$

解题步骤 5.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.7.1.3.1

移动 $\frac{\sqrt{(8 + z) (8 - z)}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$

解题步骤 5.7.1.3.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 重写为 $- \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 。

$x \geq - \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$

解题步骤 5.7.2

求 $x \geq - \sqrt{(8 + z) (8 - z)}$ 和 $- 8 \leq x < 0$ 的交点。

无解

解题步骤 5.8

求解的并集。

$0 \leq x \leq i N o Min m^{2} u$

解题步骤 6

表达式的定义域是除使表达式无意义的区间外的所有实数。在本例中，没有实数能使得表达式有意义。

无解

微积分学 示例

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