微积分学示例

$y = \frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$

解题步骤 1

该导数无法用除法定则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

根据加法法则， $\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{x^{5}}{10}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5} \ln (x)}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{5} \ln (x)}{10}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ 。

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.6

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.7

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.7.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.7.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.7.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{10} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 3.7.2.5

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- \frac{1}{50}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{5}}{50}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} (5 x^{4})$

解题步骤 4.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - 5 (\frac{1}{50}) x^{4}$

解题步骤 4.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{50}$ 。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5}{50} x^{4}$

解题步骤 4.5

组合 $\frac{- 5}{50}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5 x^{4}}{50}$

解题步骤 4.6

约去 $- 5$ 和 $50$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{50}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

从 $50$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 (10)}$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 10}$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- x^{4}}{10}$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{1}{10} (\ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x)}{10} (5 x^{4}) - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{\ln (x)}{10}$ 。

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x)}{10} x^{4} - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{5 \ln (x)}{10}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x) x^{4}}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.4

约去 $5$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $5 \ln (x) x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.5

要将 $\frac{1}{10} x^{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{1}{10} x^{4} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.6

组合 $\frac{1}{10} x^{4}$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.8

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4}}{10} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.9

组合 $\frac{x^{4}}{10}$ 和 $10$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4} \cdot 10}{10} - x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.10

将 $10$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 \cdot x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.11

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.11.1

约去公因数。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.11.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{x^{4} - x^{4}}{10}$

解题步骤 5.2.12

从 $x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{10}$

解题步骤 5.2.13

约去 $0$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.13.1

从 $0$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 (0)}{10}$

解题步骤 5.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.13.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.13.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.13.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{1}$

解题步骤 5.2.13.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + 0$

解题步骤 5.2.14

将 $\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{x^{4} \ln (x)}{2}$

微积分学 示例

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