微积分学示例

$\frac{x^{6} + 8 y^{7}}{x^{7} + y^{8}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{6} + 8 y^{7}$ 且 $g (x) = x^{7} + y^{8}$ 。

$\frac{(x^{7} + y^{8}) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8 y^{7}] - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{6} + 8 y^{7}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]$ 。

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $8 y^{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 y^{7}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + 0) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $6 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{7} + y^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$ 。

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $y^{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{8}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $7 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) + (- x^{6} - (8 y^{7})) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 x^{7} x^{5} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

通过指数相加将 $x^{7}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{6 (x^{5} x^{7}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 x^{5 + 7} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2.3

将 $5$ 和 $7$ 相加。

$\frac{6 x^{12} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6} x^{6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.5

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.4.1.5.1

移动 $x^{6}$ 。

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 (x^{6} x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6 + 6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.5.3

将 $6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.7

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 y^{7} (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 \cdot 7 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.9

将 $- 8$ 乘以 $7$ 。

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

从 $6 x^{12}$ 中减去 $7 x^{12}$ 。

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.6

从 $- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.6.1

从 $- x^{12}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

从 $6 y^{8} x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

从 $- 56 y^{7} x^{6}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.6.4

从 $x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8})$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.6.5

从 $x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.7

从 $- x^{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.8

从 $6 y^{8}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) - (- 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.9

从 $- (x^{7}) - (- 6 y^{8})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.10

从 $- 56 y^{7} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.11

从 $- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.12

将 $- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ 重写为 $- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ 。

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

解题步骤 3.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{5} (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

微积分学 示例

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