微积分学示例

$\frac{7}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 7$ 且 $g (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \frac{d}{d x} [7] - 1 \cdot 7 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 1 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{0 - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 9.1.1.3

乘以 $- 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

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解题步骤 9.1.1.3.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{0 + \frac{- 7 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 9.1.1.3.2

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 + \frac{- 14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 9.1.1.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{0 - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

从 $0$ 中减去 $\frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

将 ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}$

解题步骤 9.2.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

解题步骤 9.2.4

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$ 乘以 $\frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{14}{\sqrt[3]{x^{4}} (3 x^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 9.2.5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{4}}$ 重写成 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$- \frac{14}{3 (x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 9.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{14}{3 x^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

解题步骤 9.2.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{14}{3 x^{\frac{4 + 1}{3}}}$

解题步骤 9.2.8

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{14}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

微积分学 示例

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