微积分学示例

$\frac{4 x}{x^{2} + 36}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x$ 且 $g (x) = x^{2} + 36$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [4 x] - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $x^{2} + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot x^{2} + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $36$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5

乘以 $- 1 \cdot 4 \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

从 $- 4 x^{2} + 144$ 中分解出因数 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{2}) + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

从 $144$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

从 $4 (- x^{2}) + 4 (36)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{4 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $- x^{2}$ 和 $6^{2}$ 重新排序。

$\frac{4 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 6$ 和 $b = x$ 。

$\frac{4 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例