微积分学示例

$\frac{8 x - 16}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 8 x - 16$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [8 x - 16] - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $8 x - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} (8 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (8 + 0) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} \cdot 8 + (- (8 x) - - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $8$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{8 \cdot x^{2} - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{8 x^{2} - (8 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{8 x^{2} - (8 x^{2}) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 x^{2} - 8 x^{2} \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.6

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $8 x^{2}$ 中减去 $16 x^{2}$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{4}}$

解题步骤 5.5

从 $- 8 x^{2} + 32 x$ 中分解出因数 $8 x$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $- 8 x^{2}$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$\frac{8 x (- x) + 32 x}{x^{4}}$

解题步骤 5.5.2

从 $32 x$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$\frac{8 x (- x) + 8 x (4)}{x^{4}}$

解题步骤 5.5.3

从 $8 x (- x) + 8 x (4)$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$\frac{8 x (- x + 4)}{x^{4}}$

解题步骤 5.6

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

从 $8 x (- x + 4)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x^{4}}$

解题步骤 5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.6.2.2

约去公因数。

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.6.2.3

重写表达式。

$\frac{8 (- x + 4)}{x^{3}}$

解题步骤 5.7

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x) + 4)}{x^{3}}$

解题步骤 5.8

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 4))}{x^{3}}$

解题步骤 5.9

从 $- (x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x - 4))}{x^{3}}$

解题步骤 5.10

将 $- (x - 4)$ 重写为 $- 1 (x - 4)$ 。

$\frac{8 (- 1 (x - 4))}{x^{3}}$

解题步骤 5.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 (x - 4)}{x^{3}}$

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