微积分学示例

$\frac{\sec (x)}{1 + \tan (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 1 + \tan (x)$ 。

$\frac{(1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 5

将 $0$ 和 $\sec^{2} (x)$ 相加。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $\sec (x) \tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

乘以 $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ 。

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解题步骤 6.2.1.2.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.2

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - {\sec (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

从 $\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $\sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $\tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

从 $- \sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4

从 $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.5

从 $\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.3

将 $\tan^{2} (x)$ 和 $- \sec^{2} (x)$ 重新排序。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.4

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.5

从 $\tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.6

从 $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.7

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.9

运用分配律。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.10

将 $- 1$ 移到 $\sec (x)$ 的左侧。

$\frac{\sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.11

将 $- 1 \sec (x)$ 重写为 $- \sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

从 $\sec (x) \tan (x) - \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $\sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.2

从 $- \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3.3

从 $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

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