微积分学示例

$\frac{\sin (3 \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (3 \sin (x))$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 \sin (x))] - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\frac{\sin (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2.3

使用 $3 \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\sin (x) (\cos (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{\sin (x) (\cos (3 \sin (x)) (3 \frac{d}{d x} [\sin (x)])) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

将 $3$ 移到 $\cos (3 \sin (x))$ 的左侧。

$\frac{\sin (x) (3 \cdot \cos (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (3 \cos (3 \sin (x)) \cos (x)) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

重新排序 $3 \cos (3 \sin (x)) \cos (x)$ 的因式。

$\frac{\sin (x) (3 \cos (x) \cos (3 \sin (x))) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (3 \cos (x) \cos (3 \sin (x))) - \sin (3 \sin (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 \sin (x) \cos (x) \cos (3 \sin (x)) - \sin (3 \sin (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$\frac{3 \cos (x) \cos (3 \sin (x)) \sin (x) - \cos (x) \sin (3 \sin (x))}{\sin^{2} (x)}$

微积分学 示例

微积分学示例