微积分学示例

$x \sqrt{x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sqrt{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 1$

解题步骤 10

合并项。

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解题步骤 10.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 1$

解题步骤 10.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

解题步骤 10.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

解题步骤 10.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

解题步骤 10.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

解题步骤 10.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

解题步骤 10.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

解题步骤 10.4

将 $\sqrt{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x}$

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