微积分学示例

$y = (5 x^{2} - 1) (4 x + 3)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x^{2} - 1$ 且 $g (x) = 4 x + 3$ 。

$(5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 2

根据加法法则， $4 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(5 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(5 x^{2} - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(5 x^{2} - 1) (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x^{2} - 1) (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $5 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + 0)$

解题步骤 6.2

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 x^{2} - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

解题步骤 7.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$20 x^{2} - 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

解题步骤 7.3.3

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$20 x^{2} - 4 + 40 x \cdot x + 3 (10 x)$

解题步骤 7.3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x) + 3 (10 x)$

解题步骤 7.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x^{1}) + 3 (10 x)$

解题步骤 7.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{1 + 1} + 3 (10 x)$

解题步骤 7.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 3 (10 x)$

解题步骤 7.3.8

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 30 x$

解题步骤 7.3.9

将 $20 x^{2}$ 和 $40 x^{2}$ 相加。

$60 x^{2} - 4 + 30 x$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$60 x^{2} + 30 x - 4$

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