微积分学示例

$y = 3 x^{3} (4 x^{4} - 7 x^{3})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x^{3}$ 且 $g (x) = 4 x^{4} - 7 x^{3}$ 。

$3 x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} - 7 x^{3}] + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $4 x^{4} - 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

$3 x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$3 x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 x^{3} (16 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{3} (16 x^{3} - 7 (3 x^{2})) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (3 (3 x^{2}))$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (9 x^{2})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$3 x^{3} (16 x^{3}) + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (9 x^{2})$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$3 x^{3} (16 x^{3}) + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3

合并项。

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解题步骤 6.3.1

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$48 x^{3} x^{3} + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$48 (x^{3} x^{3}) + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$48 x^{3 + 3} + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$48 x^{6} + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.3

将 $- 21$ 乘以 $3$ 。

$48 x^{6} - 63 x^{3} x^{2} + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$48 x^{6} - 63 (x^{2} x^{3}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$48 x^{6} - 63 x^{2 + 3} + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.4.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.5

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{4} x^{2} - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.6

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 (x^{2} x^{4}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{2 + 4} - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.6.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 7 x^{3} (9 x^{2})$

解题步骤 6.3.7

将 $9$ 乘以 $- 7$ 。

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 x^{3} x^{2}$

解题步骤 6.3.8

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 (x^{2} x^{3})$

解题步骤 6.3.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 x^{2 + 3}$

解题步骤 6.3.8.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 x^{5}$

解题步骤 6.3.9

将 $48 x^{6}$ 和 $36 x^{6}$ 相加。

$84 x^{6} - 63 x^{5} - 63 x^{5}$

解题步骤 6.3.10

从 $- 63 x^{5}$ 中减去 $63 x^{5}$ 。

$84 x^{6} - 126 x^{5}$

微积分学 示例

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