微积分学示例

$y = \frac{a}{2} \cdot (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{a}{2}$ 且 $g (x) = e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ 。

$\frac{a}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}] + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{a}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x}{a}$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{a}{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{x}{a}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{1}{a}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{a}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 3.4

将 $\frac{1}{a}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 3.5

组合 $e^{\frac{x}{a}}$ 和 $\frac{1}{a}$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ 。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- \frac{x}{a}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x}{a}$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- \frac{x}{a}$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.3.3

使用 $- \frac{x}{a}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.4

因为 $- \frac{1}{a}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{a}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \cdot 1))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a}))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.7

组合 $e^{- \frac{x}{a}}$ 和 $\frac{1}{a}$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - - \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + 1 \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 4.9

将 $\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

解题步骤 5

因为 $\frac{a}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{a}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

解题步骤 6.3

合并项。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{a}{2}$ 乘以 $\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a}$ 。

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.2

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

约去公因数。

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.2.2

重写表达式。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.3

将 $\frac{a}{2}$ 乘以 $\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.4

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.4.2

重写表达式。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.5

将 $e^{\frac{x}{a}}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{- \frac{x}{a}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.7

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0 e^{- \frac{x}{a}}$

解题步骤 6.3.8

将 $0$ 乘以 $e^{- \frac{x}{a}}$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0$

解题步骤 6.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0$

解题步骤 6.3.10

将 $\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$

微积分学 示例

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