微积分学示例

$y = {(5 x - 3)}^{4} {(6 x + 7)}^{2}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(5 x - 3)}^{4}$ 且 $g (x) = {(6 x + 7)}^{2}$ 。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 7)}^{2}] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 2

将 ${(6 x + 7)}^{2}$ 重写为 $(6 x + 7) (6 x + 7)$ 。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [(6 x + 7) (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(6 x + 7) (6 x + 7)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 3.2

运用分配律。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 3.3

运用分配律。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

移动 $x$ 。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 4.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 4.1.4

将 $7$ 乘以 $6$ 。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 4.1.5

将 $6$ 乘以 $7$ 。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 4.1.6

将 $7$ 乘以 $7$ 。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 4.2

将 $42 x$ 和 $42 x$ 相加。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 84 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

根据加法法则， $36 x^{2} + 84 x + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 5.2

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 5.4

将 $2$ 乘以 $36$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 5.5

因为 $84$ 对于 $x$ 是常数，所以 $84 x$ 对 $x$ 的导数是 $84 \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 5.7

将 $84$ 乘以 $1$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 5.8

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + 0) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 5.9

将 $72 x + 84$ 和 $0$ 相加。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 5 x - 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x - 3$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

解题步骤 6.3

使用 $5 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

解题步骤 7

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

根据加法法则， $5 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

解题步骤 7.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

解题步骤 7.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

解题步骤 7.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + 0))$

解题步骤 7.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.6.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \cdot 5)$

解题步骤 7.6.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (20 {(5 x - 3)}^{3})$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $20$ 移到 ${(6 x + 7)}^{2}$ 的左侧。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 \cdot {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

解题步骤 8.2

从 ${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ 中分解出因数 ${(5 x - 3)}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

从 ${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84)$ 中分解出因数 ${(5 x - 3)}^{3}$ 。

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

解题步骤 8.2.2

从 $20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ 中分解出因数 ${(5 x - 3)}^{3}$ 。

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$

解题步骤 8.2.3

从 ${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$ 中分解出因数 ${(5 x - 3)}^{3}$ 。

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2})$

微积分学 示例

微积分学示例