微积分学示例

$f (x) = \frac{\cos (t)}{t^{5}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = t^{5}$ 。

$\frac{t^{5} \frac{d}{d t} [\cos (t)] - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

解题步骤 2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}}{{(t^{5})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

将 $- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}$ 中的因式重新排序。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{{(t^{5})}^{2}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 ${(t^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

解题步骤 4.2.2

从 $- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $- t^{5} \sin (t)$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 5 t^{4} \cos (t)$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))}{t^{10}}$

解题步骤 4.2.2.3

从 $t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{10}}$

解题步骤 4.2.3

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $t^{10}$ 中分解出因数 $t^{4}$ 。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

解题步骤 4.2.3.2

约去公因数。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

解题步骤 4.2.3.3

重写表达式。

$\frac{- t \sin (t) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

解题步骤 4.3

从 $- t \sin (t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (t \sin (t)) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

解题步骤 4.4

从 $- 5 \cos (t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))}{t^{6}}$

解题步骤 4.5

从 $- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

解题步骤 4.6

将 $- (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ 重写为 $- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ 。

$\frac{- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{t \sin (t) + 5 \cos (t)}{t^{6}}$

微积分学 示例

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