微积分学示例

$\frac{t \sin (t)}{1 + t}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t \sin (t)$ 且 $g (t) = 1 + t$ 。

$\frac{(1 + t) \frac{d}{d t} [t \sin (t)] - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = \sin (t)$ 。

$\frac{(1 + t) (t \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 3

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \cdot 1) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $1 + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + 1)}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t))$ 。

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解题步骤 5.1.1.1.1

运用分配律。

$\frac{1 (t \cos (t) + \sin (t)) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.1.1.1.2

运用分配律。

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将 $t \cos (t)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t \cos (t) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.1.1.2.2

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.1.1.2.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 5.1.1.2.3.1

移动 $t$ 。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t \cdot t \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.1.1.2.3.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

合并 $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $t \sin (t)$ 中减去 $t \sin (t)$ 。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 0}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{t \cos (t) + t^{2} \cos (t) + \sin (t)}{{(t + 1)}^{2}}$

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