微积分学示例

$\frac{10 x^{3} + 19 x^{2} - 5}{5 x + 2}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 10 x^{3} + 19 x^{2} - 5$ 且 $g (x) = 5 x + 2$ 。

$\frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 19 x^{2} - 5] - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $10 x^{3} + 19 x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{(5 x + 2) (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(5 x + 2) (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $19$ 对于 $x$ 是常数，所以 $19 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 19 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 19 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $19$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x + 0) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $30 x^{2} + 38 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

根据加法法则， $5 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 7

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 7.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3} + 19 x^{2} - 5) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) + (- (10 x^{3}) - (19 x^{2}) - - 5) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 x + 2) (30 x^{2} + 38 x)$ 。

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解题步骤 8.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{5 x (30 x^{2} + 38 x) + 2 (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2} + 38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 \cdot 30 x \cdot x^{2} + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x) + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x^{1}) + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 \cdot 30 x^{2 + 1} + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5 \cdot 30 x^{3} + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.3

将 $5$ 乘以 $30$ 。

$\frac{150 x^{3} + 5 x (38 x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{150 x^{3} + 5 \cdot 38 x \cdot x + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{150 x^{3} + 5 \cdot 38 (x \cdot x) + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{150 x^{3} + 5 \cdot 38 x^{2} + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.6

将 $5$ 乘以 $38$ 。

$\frac{150 x^{3} + 190 x^{2} + 2 (30 x^{2}) + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.7

将 $30$ 乘以 $2$ 。

$\frac{150 x^{3} + 190 x^{2} + 60 x^{2} + 2 (38 x) - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.1.8

将 $38$ 乘以 $2$ 。

$\frac{150 x^{3} + 190 x^{2} + 60 x^{2} + 76 x - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

将 $190 x^{2}$ 和 $60 x^{2}$ 相加。

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - (10 x^{3}) \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 10 x^{3} \cdot 5 - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $5$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - (19 x^{2}) \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $19$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - 19 x^{2} \cdot 5 - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.6

将 $5$ 乘以 $- 19$ 。

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - 95 x^{2} - - 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.7

乘以 $- - 5 \cdot 5$ 。

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解题步骤 8.3.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - 95 x^{2} + 5 \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.7.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{150 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 50 x^{3} - 95 x^{2} + 25}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.2

从 $150 x^{3}$ 中减去 $50 x^{3}$ 。

$\frac{100 x^{3} + 250 x^{2} + 76 x - 95 x^{2} + 25}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8.3.3

从 $250 x^{2}$ 中减去 $95 x^{2}$ 。

$\frac{100 x^{3} + 155 x^{2} + 76 x + 25}{{(5 x + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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