微积分学示例

$\frac{w^{2} + 1}{w^{2} - w - 6}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ 等于 $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ ，其中 $f (w) = w^{2} + 1$ 且 $g (w) = w^{2} - w - 6$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) \frac{d}{d w} [w^{2} + 1] - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $w^{2} + 1$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $w$ 是常数，所以 $1$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + 0) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2 w$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $w^{2} - w - 6$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6]$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d w} [- w]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $w$ 是常数，所以 $- w$ 对 $w$ 的导数是 $- \frac{d}{d w} [w]$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $- 6$ 对于 $w$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $w$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + 0)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $2 w - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 w^{2} w - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

通过指数相加将 $w^{2}$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

移动 $w$ 。

$\frac{2 (w \cdot w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2

将 $w$ 乘以 $w^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.2.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (w^{1} w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 w^{1 + 2} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 w^{3} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w \cdot w - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4

通过指数相加将 $w$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 5.3.1.4.1

移动 $w$ 。

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 (w \cdot w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4.2

将 $w$ 乘以 $w$ 。

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.6

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(- w^{2} - 1) (2 w - 1)$ 。

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解题步骤 5.3.1.8.1

运用分配律。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w - 1) - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.8.2

运用分配律。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.8.3

运用分配律。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{2} w - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9.2

通过指数相加将 $w^{2}$ 乘以 $w$ 。

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解题步骤 5.3.1.9.2.1

移动 $w$ 。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w \cdot w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9.2.2

将 $w$ 乘以 $w^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.9.2.2.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w^{1} w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{1 + 2} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9.4

乘以 $- w^{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.3.1.9.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + 1 w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9.4.2

将 $w^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

合并 $2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $2 w^{3}$ 中减去 $2 w^{3}$ 。

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + 0 + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- 2 w^{2} - 12 w$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 2 w^{2}$ 和 $w^{2}$ 相加。

$\frac{- w^{2} - 12 w - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

从 $- 12 w$ 中减去 $2 w$ 。

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分母。

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解题步骤 5.4.1

使用 AC 法来对 $w^{2} - w - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.4.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 5.4.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{((w - 3) (w + 2))}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

对 $(w - 3) (w + 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $- w^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (w^{2}) - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.6

从 $- 14 w$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (w^{2}) - (14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.7

从 $- (w^{2}) - (14 w)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (w^{2} + 14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.8

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.9

从 $- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.10

将 $- (w^{2} + 14 w - 1)$ 重写为 $- 1 (w^{2} + 14 w - 1)$ 。

$\frac{- 1 (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{w^{2} + 14 w - 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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