微积分学示例

$\frac{\sqrt[3]{4 x^{3} + 8}}{{(x + 2)}^{5}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sqrt[3]{4 x^{3} + 8}$ 且 $g (x) = {(x + 2)}^{5}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{4 x^{3} + 8}] - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4 x^{3} + 8}$ 重写成 ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}] - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 4 x^{3} + 8$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x^{3} + 8$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $4 x^{3} + 8$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3} {(4 x^{3} + 8)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(4 x^{3} + 8)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{{(4 x^{3} + 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 x^{3} + 8)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 9

根据加法法则， $4 x^{3} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 12

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 13

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (12 x^{2} + 0)) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 14

化简项。

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解题步骤 14.1

将 $12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} (12 x^{2})) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 14.2

组合 $12$ 和 $\frac{1}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} (\frac{12}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} x^{2}) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 14.3

组合 $\frac{12}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{12 x^{2}}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 14.4

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{3 (4 x^{2})}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 15

约去公因数。

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解题步骤 15.1

从 $3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{3 (4 x^{2})}{3 ({(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}})} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 15.2

约去公因数。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{3 (4 x^{2})}{3 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 15.3

重写表达式。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 16

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 16.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 2$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 16.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 16.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 17

求微分。

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解题步骤 17.1

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 17.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [2]))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 17.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 17.4

化简表达式。

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解题步骤 17.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4} \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 17.4.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

化简分子。

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解题步骤 18.1.1

从 ${(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4})$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{4}$ 。

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解题步骤 18.1.1.1

从 ${(x + 2)}^{5} \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{4}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} ((x + 2) \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}) - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.1.2

从 $- \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} (5 {(x + 2)}^{4})$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{4}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} ((x + 2) \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}) + {(x + 2)}^{4} (- \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.1.3

从 ${(x + 2)}^{4} ((x + 2) \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}) + {(x + 2)}^{4} (- \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{4}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} ((x + 2) \frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.2

将 $x + 2$ 乘以 $\frac{4 x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{(x + 2) (4 x^{2})}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.3

将 $4$ 移到 $x + 2$ 的左侧。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 \cdot (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 8} \cdot (5))}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.4

从 $4 x^{3} + 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 18.1.4.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 (x^{3}) + 8} \cdot 5)}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.4.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 x^{3} + 4 \cdot 2} \cdot 5)}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.4.3

从 $4 x^{3} + 4 \cdot 2$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} \cdot 5)}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.6

要将 $- 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} - 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} \cdot \frac{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.7

组合 $- 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)}$ 和 $\frac{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (\frac{4 (x + 2) x^{2}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}})}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.8

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 (x + 2) x^{2} - 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9

以因式分解的形式重写 $\frac{4 (x + 2) x^{2} - 5 \sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

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解题步骤 18.1.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4 (x^{3} + 2)}$ 重写成 ${(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 (x + 2) x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.2

运用分配律。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{(4 x + 4 \cdot 2) x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{(4 x + 8) x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.4

运用分配律。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x \cdot x^{2} + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 18.1.9.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 (x^{2} x) + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 18.1.9.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 (x^{2} x^{1}) + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{2 + 1} + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 (x^{3} + 2))}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.6

运用分配律。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 4 \cdot 2)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.7

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.8

通过指数相加将 ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 18.1.9.8.1

移动 ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 ({(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.8.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.8.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{\frac{3}{3}}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.8.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 {(4 x^{3} + 8)}^{1}}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.9

化简 $- 5 {(4 x^{3} + 8)}^{1}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 (4 x^{3} + 8)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.10

运用分配律。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 5 (4 x^{3}) - 5 \cdot 8}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.11

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x^{3} - 5 \cdot 8}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.12

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x^{3} - 40}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.13

从 $4 x^{3}$ 中减去 $20 x^{3}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{- 16 x^{3} + 8 x^{2} - 40}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.14

从 $- 16 x^{3} + 8 x^{2} - 40$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 18.1.9.14.1

从 $- 16 x^{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3}) + 8 x^{2} - 40}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.14.2

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3}) + 8 (x^{2}) - 40}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.14.3

从 $- 40$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3}) + 8 x^{2} + 8 \cdot - 5}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.14.4

从 $8 (- 2 x^{3}) + 8 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3} + x^{2}) + 8 \cdot - 5}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.1.9.14.5

从 $8 (- 2 x^{3} + x^{2}) + 8 \cdot - 5$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \frac{8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.2

合并项。

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解题步骤 18.2.1

组合 ${(x + 2)}^{4}$ 和 $\frac{8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{{(x + 2)}^{4} (8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.2.2

将 $8$ 移到 ${(x + 2)}^{4}$ 的左侧。

$\frac{\frac{8 \cdot {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{({(x + 2)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 18.2.3

将 ${({(x + 2)}^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 18.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x + 2)}^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 18.2.3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x + 2)}^{10}}$

解题步骤 18.2.4

将 $\frac{\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x + 2)}^{10}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x + 2)}^{10}}$

解题步骤 18.2.5

将 $\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(x + 2)}^{10}}$ 。

$\frac{8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{10}}$

解题步骤 18.2.6

从 $8 {(x + 2)}^{4} (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{4}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{10}}$

解题步骤 18.2.7

约去公因数。

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解题步骤 18.2.7.1

从 ${(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{10}$ 中分解出因数 ${(x + 2)}^{4}$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5))}{{(x + 2)}^{4} ({(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6})}$

解题步骤 18.2.7.2

约去公因数。

$\frac{{(x + 2)}^{4} (8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5))}{{(x + 2)}^{4} ({(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6})}$

解题步骤 18.2.7.3

重写表达式。

$\frac{8 (- 2 x^{3} + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

解题步骤 18.3

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (2 x^{3}) + x^{2} - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

解题步骤 18.4

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

解题步骤 18.5

从 $- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (2 x^{3} - x^{2}) - 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

解题步骤 18.6

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{8 (- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

解题步骤 18.7

从 $- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (2 x^{3} - x^{2} + 5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

解题步骤 18.8

将 $- (2 x^{3} - x^{2} + 5)$ 重写为 $- 1 (2 x^{3} - x^{2} + 5)$ 。

$\frac{8 (- 1 (2 x^{3} - x^{2} + 5))}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

解题步骤 18.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 (2 x^{3} - x^{2} + 5)}{{(4 x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(x + 2)}^{6}}$

微积分学 示例

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