微积分学示例

$\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{3 x^{2} - 2}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 2$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} (3 x^{2})) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简项。

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解题步骤 2.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{3}{3} x^{2}) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $3 x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + 0)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{3} x}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x \cdot x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x^{1} x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{1 + 3}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2)) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4.3

约去公因数。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4.4

重写表达式。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

从 $3 x^{4}$ 中减去 $2 x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

从 $x^{4} - 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 2)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

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