微积分学示例

$m (t) = - 7 t {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = - 7 t$ 且 $g (t) = {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ 。

$- 7 t \frac{d}{d t} [{(3 t^{4} - 1)}^{8}] + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{8}$ 且 $g (t) = 3 t^{4} - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 t^{4} - 1$ 。

$- 7 t (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$- 7 t (8 u^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 2.3

使用 $3 t^{4} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 t^{4} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{4}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ 。

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + 0)) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $12 t^{3}$ 和 $0$ 相加。

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3})) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 3.6.2

将 $12$ 乘以 $8$ 。

$- 7 t (96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 3.6.3

重新排序 $96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}$ 的因式。

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

解题步骤 3.7

因为 $- 7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \cdot 1)$

解题步骤 3.9

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $96$ 乘以 $- 7$ 。

$- 672 t (t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

解题步骤 4.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 672 (t^{3} t^{1}) {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 672 t^{3 + 1} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

解题步骤 4.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

解题步骤 4.5

将 $- 7$ 移到 ${(3 t^{4} - 1)}^{8}$ 的左侧。

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 \cdot {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

解题步骤 4.6

从 $- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ 中分解出因数 $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ 。

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解题步骤 4.6.1

从 $- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ 中分解出因数 $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ 。

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

解题步骤 4.6.2

从 $- 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ 中分解出因数 $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ 。

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$

解题步骤 4.6.3

从 $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$ 中分解出因数 $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ 。

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4} - (3 t^{4} - 1))$

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