微积分学示例

$f (x) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (y + 8 y^{3})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ 且 $g (x) = y + 8 y^{3}$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \frac{d}{d x} [y + 8 y^{3}] + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $y + 8 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

解题步骤 2.3

因为 $8 y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + 0) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

解题步骤 2.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}]$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

解题步骤 2.6

因为 $\frac{1}{y^{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{y^{2}}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

解题步骤 2.7

因为 $- \frac{2}{y^{4}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{y^{4}}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + 0)$

解题步骤 2.8

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

解题步骤 3.3.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 0 \frac{2}{y^{4}} + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{y^{4}}$ 。

$0 + 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

解题步骤 3.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

解题步骤 3.3.5

将 $y$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

解题步骤 3.3.6

将 $0$ 乘以 $8$ 。

$0 + 0 + 0 y^{3}$

解题步骤 3.3.7

将 $0$ 乘以 $y^{3}$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 3.3.8

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 3.3.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

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