微积分学示例

$f (x) = (1 + 7 x^{2}) (x - x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 + 7 x^{2}$ 且 $g (x) = x - x^{2}$ 。

$(1 + 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $1 + 7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 (2 x))$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 14 x)$

解题步骤 6

将 $0$ 和 $14 x$ 相加。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (14 x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5

合并项。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.2

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$- 2 x - 14 x^{2} x + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 x - 14 (x^{1} x^{2}) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x - 14 x^{1 + 2} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.7

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x^{1}) - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{1 + 1} - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - x^{2} (14 x)$

解题步骤 7.5.12

将 $14$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{2} x$

解题步骤 7.5.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 (x^{1} x^{2})$

解题步骤 7.5.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{1 + 2}$

解题步骤 7.5.15

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{3}$

解题步骤 7.5.16

将 $7 x^{2}$ 和 $14 x^{2}$ 相加。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 21 x^{2} - 14 x^{3}$

解题步骤 7.5.17

从 $- 14 x^{3}$ 中减去 $14 x^{3}$ 。

$- 2 x - 28 x^{3} + 1 + 21 x^{2}$

解题步骤 7.6

重新排序项。

$- 28 x^{3} + 21 x^{2} - 2 x + 1$

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