微积分学示例

$P (t) = (0.7 t - 6) (0.9 t + 9) + 95$

解题步骤 1

根据加法法则， $(0.7 t - 6) (0.9 t + 9) + 95$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [(0.7 t - 6) (0.9 t + 9)] + \frac{d}{d t} [95]$ 。

$\frac{d}{d t} [(0.7 t - 6) (0.9 t + 9)] + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [(0.7 t - 6) (0.9 t + 9)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 0.7 t - 6$ 且 $g (t) = 0.9 t + 9$ 。

$(0.7 t - 6) \frac{d}{d t} [0.9 t + 9] + (0.9 t + 9) \frac{d}{d t} [0.7 t - 6] + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $0.9 t + 9$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [0.9 t] + \frac{d}{d t} [9]$ 。

$(0.7 t - 6) (\frac{d}{d t} [0.9 t] + \frac{d}{d t} [9]) + (0.9 t + 9) \frac{d}{d t} [0.7 t - 6] + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.3

因为 $0.9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.9 t$ 对 $t$ 的导数是 $0.9 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(0.7 t - 6) (0.9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]) + (0.9 t + 9) \frac{d}{d t} [0.7 t - 6] + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(0.7 t - 6) (0.9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [9]) + (0.9 t + 9) \frac{d}{d t} [0.7 t - 6] + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.5

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(0.7 t - 6) (0.9 \cdot 1 + 0) + (0.9 t + 9) \frac{d}{d t} [0.7 t - 6] + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $0.7 t - 6$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [0.7 t] + \frac{d}{d t} [- 6]$ 。

$(0.7 t - 6) (0.9 \cdot 1 + 0) + (0.9 t + 9) (\frac{d}{d t} [0.7 t] + \frac{d}{d t} [- 6]) + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.7

因为 $0.7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.7 t$ 对 $t$ 的导数是 $0.7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(0.7 t - 6) (0.9 \cdot 1 + 0) + (0.9 t + 9) (0.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 6]) + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(0.7 t - 6) (0.9 \cdot 1 + 0) + (0.9 t + 9) (0.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 6]) + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.9

因为 $- 6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(0.7 t - 6) (0.9 \cdot 1 + 0) + (0.9 t + 9) (0.7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.10

将 $0.9$ 乘以 $1$ 。

$(0.7 t - 6) (0.9 + 0) + (0.9 t + 9) (0.7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.11

将 $0.9$ 和 $0$ 相加。

$(0.7 t - 6) \cdot 0.9 + (0.9 t + 9) (0.7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.12

将 $0.9$ 移到 $0.7 t - 6$ 的左侧。

$0.9 \cdot (0.7 t - 6) + (0.9 t + 9) (0.7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.13

将 $0.7$ 乘以 $1$ 。

$0.9 (0.7 t - 6) + (0.9 t + 9) (0.7 + 0) + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.14

将 $0.7$ 和 $0$ 相加。

$0.9 (0.7 t - 6) + (0.9 t + 9) \cdot 0.7 + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 2.15

将 $0.7$ 移到 $0.9 t + 9$ 的左侧。

$0.9 (0.7 t - 6) + 0.7 (0.9 t + 9) + \frac{d}{d t} [95]$

解题步骤 3

因为 $95$ 对于 $t$ 是常数，所以 $95$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0.9 (0.7 t - 6) + 0.7 (0.9 t + 9) + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$0.9 (0.7 t) + 0.9 \cdot - 6 + 0.7 (0.9 t + 9) + 0$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$0.9 (0.7 t) + 0.9 \cdot - 6 + 0.7 (0.9 t) + 0.7 \cdot 9 + 0$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $0.7$ 乘以 $0.9$ 。

$0.63 t + 0.9 \cdot - 6 + 0.7 (0.9 t) + 0.7 \cdot 9 + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $0.9$ 乘以 $- 6$ 。

$0.63 t - 5.4 + 0.7 (0.9 t) + 0.7 \cdot 9 + 0$

解题步骤 4.3.3

将 $0.9$ 乘以 $0.7$ 。

$0.63 t - 5.4 + 0.63 t + 0.7 \cdot 9 + 0$

解题步骤 4.3.4

将 $0.7$ 乘以 $9$ 。

$0.63 t - 5.4 + 0.63 t + 6.3 + 0$

解题步骤 4.3.5

将 $0.63 t$ 和 $0.63 t$ 相加。

$1.26 t - 5.4 + 6.3 + 0$

解题步骤 4.3.6

将 $- 5.4$ 和 $6.3$ 相加。

$1.26 t + 0.9 + 0$

解题步骤 4.3.7

将 $1.26 t + 0.9$ 和 $0$ 相加。

$1.26 t + 0.9$

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