微积分学示例

$f (t) = (1 - t^{2}) (1 - \frac{3}{t^{2}})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 1 - t^{2}$ 且 $g (t) = 1 - \frac{3}{t^{2}}$ 。

$(1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - \frac{3}{t^{2}}] + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - \frac{3}{t^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ 。

$(1 - t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{3}{t^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{t^{2}}$ 重写为 ${(t^{2})}^{- 1}$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = t^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{2}$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.3.3

使用 $t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.5

将 ${(t^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{- 4} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 4} t)) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.7

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{1 - 4})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 3})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 3.10

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$(1 - t^{2}) (0 + 6 t^{- 3}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(1 - t^{2}) (0 + 6 \frac{1}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{t^{3}}$ 。

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{6}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $\frac{6}{t^{3}}$ 相加。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $1 - t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

解题步骤 5.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - (2 t))$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - 2 t)$

解题步骤 7

从 $0$ 中减去 $2 t$ 。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

解题步骤 8.3

合并项。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{6}{t^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{6}{t^{3}}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6 t^{2}}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

解题步骤 8.3.3

约去 $t^{2}$ 和 $t^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1

从 $6 t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

解题步骤 8.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.3.2.1

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

解题步骤 8.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

解题步骤 8.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

解题步骤 8.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

解题步骤 8.3.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + 2 \frac{3}{t^{2}} t$

解题步骤 8.3.6

组合 $2$ 和 $\frac{3}{t^{2}}$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{2 \cdot 3}{t^{2}} t$

解题步骤 8.3.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t^{2}} t$

解题步骤 8.3.8

组合 $\frac{6}{t^{2}}$ 和 $t$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6 t}{t^{2}}$

解题步骤 8.3.9

约去 $t$ 和 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.9.1

从 $6 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t^{2}}$

解题步骤 8.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.9.2.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

解题步骤 8.3.9.2.2

约去公因数。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

解题步骤 8.3.9.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t}$

解题步骤 8.3.10

将 $- \frac{6}{t}$ 和 $\frac{6}{t}$ 相加。

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t + 0$

解题步骤 8.3.11

将 $\frac{6}{t^{3}} - 2 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$

解题步骤 8.4

重新排序项。

$- 2 t + \frac{6}{t^{3}}$

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