微积分学示例

$\frac{0.2}{\sqrt{x}} - 3.3 x^{- 2} + 3 x$

解题步骤 1

该导数无法用乘积法则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

根据加法法则， $\frac{0.2}{\sqrt{x}} - 3.3 x^{- 2} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{\sqrt{x}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.2

因为 $0.2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{0.2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $0.2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$0.2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$0.2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$0.2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0.2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0.2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0.2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.6

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0.2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0.2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

$0.2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.6.2.3

重写表达式。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$0.2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.14

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 3.14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.14.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.14.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.14.4

在公分母上合并分子。

$0.2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.14.5

化简分子。

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解题步骤 3.14.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0.2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.14.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$0.2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.14.6

将负号移到分数的前面。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$0.2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.16

将 $- 1$ 乘以 $0.2$ 。

$- 0.2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.17

组合 $- 0.2$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.18

将负号移到分数的前面。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 3.3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3.3 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3.3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - 3.3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - 3.3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.3

将 $- 2$ 乘以 $- 3.3$ 。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + 3 \cdot 1$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + 3$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序项。

$6.6 x^{- 3} + 3 - \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6.6 \frac{1}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2.2

组合 $6.6$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2.3

从 $0.2$ 中分解出因数 $0.2$ 。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2 (1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6.2.4

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2 (1)}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 6.2.5

分离分数。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - (\frac{0.2}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 6.2.6

用 $0.2$ 除以 $2$ 。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - (0.1 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 6.2.7

组合 $0.1$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.1}{x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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