微积分学示例

$(\frac{1}{3}) \cdot \cos (8 x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{3}$ 且 $g (x) = \cos (8 x)$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

解题步骤 2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\frac{1}{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

解题步骤 2.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

解题步骤 3.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} (- 8 \sin (8 x) \cdot 1) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

解题步骤 3.4

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

解题步骤 3.5

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x) \cdot 0$

解题步骤 4

合并项。

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解题步骤 4.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{- 8}{3} \sin (8 x) + \cos (8 x) \cdot 0$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{- 8}{3}$ 和 $\sin (8 x)$ 。

$\frac{- 8 \sin (8 x)}{3} + \cos (8 x) \cdot 0$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 \sin (8 x)}{3} + \cos (8 x) \cdot 0$

解题步骤 4.4

将 $\cos (8 x)$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{8 \sin (8 x)}{3} + 0$

解题步骤 4.5

将 $- \frac{8 \sin (8 x)}{3}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{8 \sin (8 x)}{3}$

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