微积分学示例

$h (u) = (u - \sqrt{u}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ 等于 $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ ，其中 $f (u) = u - \sqrt{u}$ 且 $g (u) = u + \sqrt{u}$ 。

$(u - \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u + \sqrt{u}] + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $u + \sqrt{u}$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$ 。

$(u - \sqrt{u}) (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) \frac{d}{d u} [u - \sqrt{u}]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $u - \sqrt{u}$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- \sqrt{u}]$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- \sqrt{u}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [- \sqrt{u}])$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d u} [- \sqrt{u}]$ 。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 + \frac{d}{d u} [- u^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 6.2

因为 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $- u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的导数是 $- \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 6.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 6.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 6.6

在公分母上合并分子。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 6.7

化简分子。

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解题步骤 6.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 6.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 6.8

将负号移到分数的前面。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 6.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 6.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$(u - \sqrt{u}) (1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) + (u + \sqrt{u}) (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

重新排序项。

$(1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u - \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u - \sqrt{u})$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

运用分配律。

$1 (u - \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u - \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.1.2

运用分配律。

$1 u + 1 (- \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u - \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.1.3

运用分配律。

$1 u + 1 (- \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$u + 1 (- \sqrt{u}) + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- \sqrt{u}$ 乘以 $1$ 。

$u - \sqrt{u} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.3

组合 $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ 和 $u$ 。

$u - \sqrt{u} + \frac{u}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $u^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$u - \sqrt{u} + \frac{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.5

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.2.5.1

将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.2.5.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.5.3

在公分母上合并分子。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.5.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (- \sqrt{u}) + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.6

使用乘法的交换性质重写。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u} + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.2.7

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ 。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + (1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.3

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}) (u + \sqrt{u})$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

运用分配律。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + 1 (u + \sqrt{u}) - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.3.2

运用分配律。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + 1 u + 1 \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u + \sqrt{u})$

解题步骤 7.2.3.3

运用分配律。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + 1 u + 1 \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4

化简每一项。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + 1 \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $\sqrt{u}$ 乘以 $1$ 。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} u - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4.3

组合 $u$ 和 $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ 。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $u^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4.5

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.4.5.1

将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.4.5.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4.5.3

在公分母上合并分子。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4.5.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} \sqrt{u}$

解题步骤 7.2.4.6

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ 。

$u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.3

合并 $u - \sqrt{u} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u + \sqrt{u} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ 中相反的项。

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解题步骤 7.3.1

将 $- \sqrt{u}$ 和 $\sqrt{u}$ 相加。

$u + 0 + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.3.2

将 $u$ 和 $0$ 相加。

$u + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.3.3

从 $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 中减去 $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$u + 0 - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.3.4

将 $u$ 和 $0$ 相加。

$u - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + u - \frac{\sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.4

在公分母上合并分子。

$u + u + \frac{- \sqrt{u} - \sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.5

从 $- \sqrt{u}$ 中减去 $\sqrt{u}$ 。

$u + u + \frac{- 2 \sqrt{u}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.6

化简每一项。

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解题步骤 7.6.1

从 $- 2 \sqrt{u}$ 中分解出因数 $2$ 。

$u + u + \frac{2 (- \sqrt{u})}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.6.2.1

从 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$u + u + \frac{2 (- \sqrt{u})}{2 (u^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 7.6.2.2

约去公因数。

$u + u + \frac{2 (- \sqrt{u})}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.6.2.3

重写表达式。

$u + u + \frac{- \sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.6.3

将负号移到分数的前面。

$u + u - \frac{\sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.7

将 $u$ 和 $u$ 相加。

$2 u - \frac{\sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2}}}$

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