微积分学示例

$y = {\sin (5 x)}^{8 x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${\sin (5 x)}^{8 x}$ 重写为 $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $8 x$ 移到对数外来展开 $\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \ln (\sin (5 x))}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 8 x \ln (\sin (5 x))$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $8 x \ln (\sin (5 x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

解题步骤 2.3

使用 $8 x \ln (\sin (5 x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

解题步骤 3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x \ln (\sin (5 x))$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$ 。

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))])$

解题步骤 3.2

将 $8$ 移到 $e^{8 x \ln (\sin (5 x))}$ 的左侧。

$8 \cdot e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (5 x)$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (5 x)$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.3

使用 $\sin (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{\sin (5 x)}$ 转换成 $\csc (5 x)$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $5 x$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.3

化简表达式。

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解题步骤 8.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.3.2

将 $5$ 移到 $\csc (5 x) \cos (5 x)$ 的左侧。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \cdot 1)$

解题步骤 8.5

将 $\ln (\sin (5 x))$ 乘以 $1$ 。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

解题步骤 9.2

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \csc (5 x) \cos (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \cos (5 x) \csc (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

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