微积分学示例

$y = {(2 x - 7)}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x - 7$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 7$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 7]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 7]$

解题步骤 1.3

使用 $2 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(2 x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 7]$

解题步骤 2

根据加法法则， $2 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$3 {(2 x - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(2 x - 7)}^{2} (2 + 0)$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$3 {(2 x - 7)}^{2} \cdot 2$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 {(2 x - 7)}^{2}$

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