微积分学示例

$f (x) = (3 x - 5) (2 x^{3} - x^{2} + 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x - 5$ 且 $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 1$ 。

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 1] + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 2

根据加法法则， $2 x^{3} - x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(3 x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(3 x - 5) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 5.2

将 $6 x^{2} - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

解题步骤 5.3

根据加法法则， $3 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 6.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 7

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + 0)$

解题步骤 7.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 3$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$(3 x - 5) (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.4

运用分配律。

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5

合并项。

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解题步骤 8.5.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18 x \cdot x^{2} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.5.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$18 (x^{2} x) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 (x^{2} x^{1}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$18 x^{2 + 1} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$18 x^{3} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.3

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$18 x^{3} - 30 x^{2} + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.4

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x \cdot x - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.9

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.10

从 $- 30 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.11

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 1 \cdot 3$

解题步骤 8.5.13

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3$

解题步骤 8.5.14

将 $18 x^{3}$ 和 $6 x^{3}$ 相加。

$24 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x - 3 x^{2} + 3$

解题步骤 8.5.15

从 $- 36 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$24 x^{3} - 39 x^{2} + 10 x + 3$

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