微积分学示例

$4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$12 y^{2} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 3.4

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y)$

解题步骤 3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y)$

解题步骤 3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

解题步骤 3.9

化简分子。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y)$

解题步骤 3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y)$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y)$

解题步骤 3.11

将 $0$ 和 $2 y$ 相加。

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y)$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$12 y^{2} + \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y)$

解题步骤 3.13

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} y$

解题步骤 3.14

组合 $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $y$ 。

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

解题步骤 3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.16

约去公因数。

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.17

重写表达式。

$12 y^{2} + \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

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